Exercices

Exercice 1 - Votre première description statistique

Huit patients suivis dans un centre de santé ont fourni les données suivantes :

Identifiant	Âge (années)	Poids (kg)	Consultations au cours des 12 derniers mois	Douleur	Statut tabagique
P01	45	68	0	Absente	Non-fumeur
P04	36	62	2	Légère	Fumeur
P03	68	81	1	Modérée	Ancien fumeur
P07	63	73	3	Légère	Fumeur
P05	71	77	2	Sévère	Non-fumeur
P02	52	74	1	Légère	Ancien fumeur
P06	59	70	2	Modérée	Ancien fumeur
P08	47	69	5	Absente	Non-fumeur

1. Quelle est l’unité statistique ? Quel est l’effectif total \(n\) ?
2. Expliquez le rôle de la colonne “Identifiant”. Pourquoi ne la traiterait-on pas comme une caractéristique mesurée sur les patients ?
3. Pour chaque caractéristique recueillie, précisez la nature de la variable (p.ex., quantitative continue, qualitative nominale). Pour l’âge, distinguez sa nature conceptuelle de la précision avec laquelle il est enregistré ici.
4. Pour le nombre de consultations, calculez le minimum, le maximum, le mode, la moyenne, la médiane, \(Q_1\), \(Q_3\), l’étendue et l’intervalle interquartile.
5. Interprétez en une phrase la médiane puis le troisième quartile du nombre de consultations, en mentionnant l’unité et la population étudiée.

AstuceCorrigé

1. Unité statistique et effectif

L’unité statistique est l’élément sur lequel les informations sont recueillies. Ici, chaque ligne décrit un patient suivi dans le centre de santé : l’unité statistique est donc le patient.

Le tableau contient huit lignes de patients, de P01 à P08. L’effectif total est ainsi : \[ n=8. \]

2. Rôle de l’identifiant

La colonne “Identifiant” sert à distinguer les lignes et, si nécessaire, à relier plusieurs fichiers concernant une même personne. P01 et P02 sont des étiquettes, pas des mesures. Leur ordre ou leur valeur n’expriment ni quantité ni catégorie présentant un intérêt clinique. Il serait donc dépourvu de sens d’en calculer une moyenne ou une fréquence à visée descriptive.

3. Nature des variables

Tableau 1: Nature des caractéristiques recueillies auprès de huit patients suivis dans un centre de santé.

Caractéristique	Nature	Justification
Âge	Conceptuellement, quantitative continue	Le temps vécu peut prendre toute valeur. Ici, l’âge est enregistré à l’année entière : la précision du recueil est discrète, sans modifier la nature conceptuelle de la variable
Poids	Quantitative continue	Comme l’âge, le poids peut prendre toute valeur dans un intervalle et possède une unité, le kilogramme
Nombre de consultations	Quantitative discrète	Il s’agit d’un dénombrement : seules des valeurs entières sont possibles
Douleur	Qualitative ordinale	Les modalités sont ordonnées d’“absente” à “sévère”, mais l’écart entre deux niveaux successifs n’est pas une quantité mesurée
Statut tabagique	Qualitative nominale	Les modalités sont des catégories et ne constituent pas une échelle numérique sur laquelle calculer une moyenne

4. Description du nombre de consultations

Tout d’abord, on ordonne la série : \[ 0\, ; \, 1\, ; \, 1\, ; \, 2\, ; \, 2\, ; \, 2\, ; \, 3\, ; \, 5. \]

• Le minimum est 0 et le maximum est 5.
• La valeur 2 apparaît trois fois, plus souvent que les autres : le mode est donc 2 consultations.
• La somme vaut \(0+1+1+2+2+2+3+5=16\). La moyenne est : \[ \bar x=\frac{16}{8}=2\text{ consultations}. \]
• Comme \(n=8\), la médiane est la moyenne des quatrième et cinquième valeurs : \[ Q_2=\frac{2+2}{2}=2. \]
• La moitié inférieure est \(0;1;1;2\). Sa médiane vaut : \[ Q_1=\frac{1+1}{2}=1. \]
• La moitié supérieure est \(2;2;3;5\). Sa médiane vaut : \[ Q_3=\frac{2+3}{2}=2,5. \]
• L’étendue mesure l’écart entre les deux valeurs extrêmes : \[ 5-0=5\text{ consultations}. \]
• L’intervalle interquartile mesure la dispersion de la moitié centrale : \[ IQR=Q_3-Q_1=2,5-1=1,5\text{ consultation}. \]

5. Interprétation

La médiane égale à 2 signifie qu’environ la moitié des huit patients ont eu au plus deux consultations au cours des douze derniers mois, et qu’environ la moitié en ont eu au moins deux.

Le troisième quartile égal à 2,5 marque la limite supérieure des trois premiers quarts de la série. Ici, six patients sur huit, soit 75 %, ont eu au plus 2 consultations, et donc au plus 2,5. Les deux valeurs restantes sont 3 et 5. La valeur décimale du quartile provient de la méthode de calcul ; elle ne signifie évidemment pas qu’un patient a eu une demi-consultation.

Exercice 2 - World record ou wrong record ?

Un concours d’apnée statique est organisé dans la prestigieuse ISPED school. Huit élèves participent, et on a récolté la durée de leur apnée, en minutes, ci-dessous :

\[ 3 \, ; \, 1 \, ; \, 21 \, ; \, 2 \, ; \, 5 \, ; \, 2 \, ; \, 4 \, ; \, 3 \]

Vous avez alors été chargé de résumer les performances pour le journal de l’école.

1. Calculez la moyenne, la médiane, l’étendue, \(Q_1\), \(Q_3\) et l’intervalle interquartile.
2. On suspecte une erreur de saisie. Recalculez ces indicateurs dans une seconde série où la durée de 21 minutes est remplacée par 1 minute.
3. Quels indicateurs ont le plus changé ? Lesquels sont restés stables ou ont peu changé ?
4. Maintenant, place à l’écrit ! Dans ce contexte, choisiriez-vous plutôt le couple moyenne-écart-type ou le couple médiane-intervalle interquartile ? Justifiez votre choix.

AstuceCorrigé

1. Série contenant 21 minutes

La série ordonnée est : \[ 1\, ; \, 2\, ; \, 2\, ; \, 3\, ; \, 3\, ; \, 4\, ; \, 5\, ; \, 21 \]

La moyenne vaut : \[ \bar x= \frac{1 + 2 \times 2 + 3 \times 2 + 4 + 5 + 21}{8}=5,125\text{ minutes}. \]

La médiane est la moyenne des deux valeurs centrales : \[ Q_2=\frac{3+3}{2}=3. \]

Pour les quartiles, on prend la médiane de chaque moitié : \[ Q_1=\frac{2+2}{2}=2 \text{ et } Q_3=\frac{4+5}{2}=4,5. \] Ainsi, la moitié des valeurs se trouve entre 2 et 4,5 minutes, mais l’étendue est très grande à cause de la valeur extrême de 21 minutes.

Enfin, l’étendue est de \(21-1=20\) et l’écart interquartile est : \(IQR=4,5-2=2,5\).

2. Série corrigée

Après remplacement de 21 par 1, la série ordonnée devient : \[ 1\, ; \, 1\, ; \, 2\, ; \, 2\, ; \, 3\, ; \, 3\, ; \, 4\, ; \, 5 \]

En procédant comme précédemment, on obtient : \[ \bar x=\frac{21}{8}=2,625, \, Q_1=\frac{1+2}{2}=1,5, \, Q_2=\frac{2+3}{2}=2,5, \, Q_3=\frac{3+4}{2}=3,5 \] L’étendue est de \(5-1=4\) et l’intervalle interquartile est : \(IQR=3,5-1,5=2\).

3. Comparaison de la sensibilité des indicateurs

Tableau 2: Comparaison des indicateurs de durée d’apnée, en minutes, chez huit élèves de l’ISPED school lors d’un concours d’apnée statique.

Indicateur	Avec 21	Avec 1	Variation absolue
Moyenne	5,125	2,625	2,500
Médiane	3,0	2,5	0,5
Étendue	20	4	16
\(Q_1\)	2,0	1,5	0,5
\(Q_3\)	4,5	3,5	1,0
Intervalle interquartile	2,5	2,0	0,5

L’étendue est de très loin l’indicateur le plus modifié, car elle dépend directement du minimum et du maximum. La moyenne change également beaucoup, car chacune des valeurs intervient dans son calcul. La médiane et l’intervalle interquartile changent peu : ils sont plus robustes à une valeur extrême.

4. Choix du résumé

Avec la valeur de 21 minutes, la distribution est fortement asymétrique et comporte une valeur extrême, possiblement erronée. Le couple médiane-intervalle interquartile est donc le résumé le plus fidèle : une performance typique est de 3 minutes et la moitié centrale des durées s’étend de 2 à 4,5 minutes. Le couple moyenne-écart-type serait tiré vers le haut par la valeur de 21 et donnerait une image trompeuse des performances habituelles.

Exercice 3 - Vous avez bien dormi ?

À l’issue d’une semaine de cours, 50 étudiants évaluent la qualité globale de leur sommeil au cours des sept derniers jours.

Qualité du sommeil	Effectif	Fréquence (%)	Fréquence cumulée (%)
Bonne	15
Mauvaise	18
Très bonne	8
Très mauvaise	9
Total	50

1. Complétez le tableau.
2. Quel est le type de la variable recueillie ? Alors, faudrait-il revoir la manière de présenter les résultats dans ce tableau ? Si oui, comment ? Si non, pourquoi ?
3. Quelle est la modalité la plus fréquente ? Quel nom donne-t-on à cette modalité ?
4. Interprétez la fréquence cumulée obtenue à la modalité “bonne”.
5. Luis Cascade - n’ayant pas suivi les cours de l’ISPED - propose de coder les modalités 0 (= très mauvaise), 1 (= mauvaise), 2 (= bonne) et 3 (= très bonne) puis de calculer leur moyenne. Que lui diriez-vous ?

AstuceCorrigé

1 et 2. Calcul des fréquences et ordre des modalités

La qualité du sommeil est une variable qualitative ordinale. Il faut donc présenter ses modalités dans leur ordre naturel, de la moins bonne à la meilleure, avant de calculer les fréquences cumulées.

Par exemple, pour “très mauvaise” : \[ \frac{9}{50}\times100=18\,\% \]

En procédant de même pour chaque modalité, puis en additionnant progressivement les fréquences, on obtient :

Tableau 3: Qualité globale du sommeil au cours des sept derniers jours déclarée par 50 étudiants à l’issue d’une semaine de cours.

Qualité du sommeil	Effectif	Fréquence (%)	Fréquence cumulée (%)
Très mauvaise	9	18	18
Mauvaise	18	36	\(18+36=54\)
Bonne	15	30	\(54+30=84\)
Très bonne	8	16	\(84+16=100\)
Total	50	100

Dans l’ordre initial du tableau, une fréquence cumulée n’aurait pas de signification claire, puisque “bonne” était placée avant “très mauvaise”. Le cumul n’est pertinent que lorsque l’ordre des modalités correspond à l’échelle étudiée.

3. Mode

La modalité “mauvaise” compte 18 étudiants, soit l’effectif le plus élevé. Elle est donc le mode de la distribution.

4. Interprétation du cumul à “bonne”

La fréquence cumulée de 84 % à la modalité “bonne” signifie que 84 % des étudiants ont déclaré une qualité de sommeil au plus égale à “bonne” dans l’ordre retenu : très mauvaise, mauvaise ou bonne. Par complément, 16 % l’ont déclarée “très bonne”.

5. Peut-on calculer une moyenne du codage 0-3 ?

En soi, rien ne nous l’empêche : \[ \frac{0\times9+1\times18+2\times15+3\times8}{50}=1,44. \]

Le problème est que ce calcul suppose que l’écart entre “très mauvaise” et “mauvaise” est identique à l’écart entre “bonne” et “très bonne”. Rien dans le questionnaire ne garantit cette égalité. En outre, un autre codage, par exemple 0, 1, 5 et 6, produirait une autre moyenne alors que les réponses n’auraient pas changé.

Exercice 4 - Si loin, si proches

La pression artérielle systolique, en mmHg, a été mesurée chez cinq patients dans chacun de deux services :

• service A : 118, 119, 120, 121, 122 ;
• service B : 100, 110, 120, 130, 140.

1. Calculez la moyenne et la médiane dans chaque service.
2. Calculez la variance empirique corrigée puis l’écart-type dans chaque service.
3. Comparez les deux distributions. Pourquoi la moyenne seule ne suffit-elle pas à les décrire ?
4. Parmi la variance et l’écart-type, lequel est le plus directement interprétable dans le contexte de la pression artérielle ? Précisez l’unité de chacun.

AstuceCorrigé

1. Moyennes et médianes

Dans le service A : \[ \bar x_A=\frac{118+119+120+121+122}{5}=120\text{ mmHg}. \] La valeur centrale de la série ordonnée est également 120 mmHg : \(\operatorname{Med}_A=120\) mmHg.

Dans le service B : \[ \bar x_B=\frac{100+110+120+130+140}{5}=120\text{ mmHg}, \] et la valeur centrale est encore 120 mmHg : \(\operatorname{Med}_B=120\) mmHg.

2. Variances empiriques corrigées et écarts-types

La variance empirique corrigée divise la somme des carrés des écarts à la moyenne par \(n-1\). Pour une série de \(n\) observations : \[ s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2. \]

Pour le service A, \(\bar x_A=120\) mmHg : \[ \begin{aligned} s_A^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x_A)^2 &=\frac{1}{5-1}\left[(118-120)^2+(119-120)^2+(120-120)^2+(121-120)^2+(122-120)^2\right]\\ &=\frac{1}{4}\left[ (-2)^2+(-1)^2+0^2+1^2+2^2 \right]\\ &=\frac{1}{4}\left[4+1+0+1+4\right]\\ &=\frac{10}{4}\\ &=2,5\text{ mmHg}^2, \end{aligned} \] d’où \[ s_A =\sqrt{s_A^2} =\sqrt{2,5}=1,58\text{ mmHg} \]

Pour le service B, \(\bar x_B=120\) mmHg : \[ \begin{aligned} s_B^2 =\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x_B)^2 &=\frac{1}{5-1}\left[(100-120)^2+(110-120)^2+(120-120)^2 +(130-120)^2+(140-120)^2 \right]\\ &=\frac{1}{4}\left[(-20)^2+(-10)^2+0^2+10^2+20^2\right]\\ &=\frac{1}{4}\left[400+100+0+100+400\right]\\ &=\frac{1000}{4}\\ &=250\text{ mmHg}^2, \end{aligned} \] d’où \[ s_B =\sqrt{s_B^2} =\sqrt{250} =15,81\text{ mmHg} \]

3. Comparaison

Les deux services ont exactement la même moyenne et la même médiane, mais leurs dispersions sont très différentes. Les valeurs du service A sont concentrées entre 118 et 122 mmHg, alors que celles du service B s’étendent de 100 à 140 mmHg. La moyenne seule indique le centre de la distribution ; elle ne dit pas si les observations sont proches ou éloignées de ce centre.

4. Unités

L’écart-type est le plus directement interprétable, car il s’exprime dans l’unité de la variable, ici le mmHg. A contrario, la variance s’exprime en \(\text{mmHg}^2\), ce qui est peu intuitif.

Exercice 5 - Un pseudo-dictionnaire de données

Un fichier contient les colonnes suivantes :

Variable	Codage observé
groupe_sanguin	1 = A ; 2 = B ; 3 = AB ; 4 = O
satisfaction	0 = très insatisfait ; 1 = insatisfait ; 2 = neutre ; 3 = satisfait ; 4 = très satisfait
temperature	température corporelle en degrés Celsius
nb_traitements	nombre de traitements pris chaque jour
code_postal	cinq chiffres
statut_vital	0 = vivant ; 1 = décédé

1. Donnez le type de chaque variable.
2. Proposez, pour chaque variable, un ou deux indicateurs descriptifs adaptés.
3. Luis Cascade vous dit que la variable code_postal est quantitative, car elle est codée par des nombres. Que lui répondez-vous ?
4. Le code 99 a été utilisé dans satisfaction pour indiquer une non-réponse, une donnée manquante. Que pensez-vous de ce choix ?

AstuceCorrigé

1 et 2. Type et résumés adaptés

Tableau 4: Nature et résumés adaptés des variables.

Variable	Type	Résumés adaptés
Groupe sanguin	Qualitative nominale	Effectif et fréquence de chaque groupe ; éventuellement le mode
Satisfaction	Qualitative ordinale	Effectifs et fréquences ordonnés ; fréquences cumulées
Température	Quantitative continue	Moyenne et écart-type si la distribution est à peu près symétrique ; sinon médiane et intervalle interquartile ; minimum et maximum en complément
Nombre de traitements	Quantitative discrète	Pareil que pour la température
Code postal	Qualitative nominale	Si on a peu de zones : effectifs et fréquences par zone ; sinon, le nombre de codes postaux distincts
Statut vital	Qualitative binaire	Effectifs et proportions de personnes vivantes et décédées

3. Pourquoi le code postal n’est-il pas quantitatif ?

Les chiffres d’un code postal constituent une étiquette géographique. Le code 33000 n’est pas “trois fois plus grand” que le code 11000 au sens d’une quantité, et leur différence ne mesure aucune distance. Les opérations arithmétiques n’ont donc pas de sens scientifique. C’est la signification de la variable, et non son format informatique, qui détermine son type.

4. Le code 99 pour les données manquantes

Ce codage est dangereux¹. Si 99 n’est pas déclaré comme valeur manquante, un logiciel le traitera comme un niveau de satisfaction extraordinairement élevé et pourra fausser les tris, les moyennes ou les graphiques.

La meilleure pratique consiste à stocker la non-réponse comme une vraie valeur manquante, par exemple NA, et à documenter séparément sa raison si elle est connue. Si le fichier source impose le code 99, il faut le recoder avant l’analyse et vérifier le nombre de valeurs concernées.

Exercice 6 - Fumeur, non-fumeur… vraiment si simple ?

Une équipe propose les deux questions suivantes dans un questionnaire :

• “Quel est votre statut tabagique ?” Réponses : non-fumeur, ancien fumeur, fumeur.
• “Combien de cigarettes fumez-vous ?” Réponses : 0, 1 à 5, 6 ou plus.

1. Ces questions sont-elles ouvertes ou fermées ?
2. Quel type de variable produit chacune d’elles dans sa forme actuelle ?
3. Discutez le caractère exhaustif et mutuellement exclusif des modalités de la première question. Repérez au moins une ambiguïté possible.
4. Réécrivez cette première question et ses modalités afin de mieux distinguer les personnes n’ayant jamais fumé, les anciens fumeurs et les fumeurs actuels.
5. Que pensez-vous du choix fait pour la seconde question ? Si l’objectif est de connaître précisément la consommation quotidienne, pourrait-on y répondre en l’état ? Que proposeriez-vous pour améliorer la question ?

AstuceCorrigé

1. Questions ouvertes ou fermées

Les deux questions sont fermées, car la personne doit choisir parmi des réponses proposées à l’avance. Aucune réponse libre n’est prévue.

2. Type des variables produites

• Le statut tabagique est une variable qualitative nominale à trois modalités.
• La consommation en classes “0”, “1 à 5” et “6 ou plus” est une variable qualitative ordinale.

3. Exhaustivité et exclusion mutuelle

Les modalités doivent être :

• exhaustives : chaque personne doit pouvoir trouver une réponse qui lui correspond ;
• mutuellement exclusives : une personne ne doit relever que d’une seule modalité.

Le terme “non-fumeur” est ambigu, car il peut aussi bien désigner une personne n’ayant jamais fumé qu’une personne ayant fumé auparavant mais ne fumant plus. Dans ce second sens, il chevauche “ancien fumeur”. L’énoncé ne précise pas non plus la période ou la définition d’un fumeur actuel, par exemple une consommation occasionnelle.

4. Proposition de reformulation

Une version plus précise serait :

“Parmi les situations suivantes, laquelle décrit le mieux votre consommation de tabac au moment de l’enquête ?”

• Je n’ai jamais fumé régulièrement.
• J’ai fumé régulièrement par le passé, mais je ne fume plus actuellement.
• Je fume actuellement, tous les jours ou occasionnellement.

Selon l’objectif de l’étude, il faudrait définir “régulièrement” et “actuellement”, ou suivre une définition standardisée du protocole. Une modalité “ne souhaite pas répondre” devrait être proposée pour éviter de forcer les participants à mentir ou à se censurer.

5. Mesure de la consommation quotidienne

Les classes proposées donnent seulement une information grossière. Deux personnes fumant respectivement 6 et 30 cigarettes seront classées ensemble, et la borne “6 ou plus” empêche toute estimation précise de la consommation moyenne.

Si l’objectif est de connaître la quantité exacte, on peut demander :

“Combien de cigarettes fumez-vous habituellement par jour ? _____ cigarettes.”

Si, malgré tout, on souhaite garder la question par classes, on pourrait la compléter en présentant une description détaillée de chaque modalité. Par exemple, on peut définir la consommation occasionnelle par une fréquence explicitement fixée dans le protocole, en indiquant le nombre de jours au cours des 30 derniers jours pendant lesquels au moins une cigarette a été fumée.

Notes de bas de page

1. C’est pour cela qu’il est important d’inspecter ses données avant de faire des analyses !