Exercices

Exercice 1 - À chaque donnée son graphique

Pour chacune des situations suivantes, identifiez le type de chaque variable puis choisissez, parmi les représentations étudiées dans le chapitre, celle qui vous paraît la plus informative.

Question étudiée Données disponibles
Décrire la distribution du cholestérol total Cholestérol total en mmol/L chez 180 patients
Étudier la relation entre taille et poids selon le sexe Taille en cm, poids en kg et sexe déclaré
Comparer les durées d’hospitalisation entre trois services Durée en jours et service d’hospitalisation
Présenter la répartition des professions Profession classée en sept modalités
Comparer la composition de la réponse clinique entre deux traitements Réponse : amélioration, stabilité ou aggravation ; groupe de traitement
Lire la proportion de patients ayant attendu au plus une durée donnée Temps d’attente en minutes
  1. Pour chaque question étudiée, indiquez la représentation que vous retiendriez et justifiez ce choix par l’information qu’elle rend immédiatement visible.
  2. Pour chaque situation, citez une représentation moins adaptée et expliquez précisément ce qu’elle montrerait moins bien ou risquerait de masquer.
  3. Pour étudier la relation entre la taille et le poids selon le sexe, quels avantages et quelles limites voyez-vous à l’utilisation simultanée de couleurs, de formes de points et de types de lignes ?
  4. Choisissez deux situations pour lesquelles un tableau apporterait une information complémentaire au graphique. Précisez laquelle.

Le choix d’un graphique part toujours de la question scientifique et du type des variables. Il n’existe pas un graphique “meilleur” dans l’absolu.

1 et 2. Choix principal et contre-proposition

Tableau 1: Choix de représentations pour six situations.
Situation Type des variables Représentation conseillée Représentation moins adaptée
Distribution du cholestérol Cholestérol quantitatif continu Histogramme : forme, centre, dispersion, asymétrie et modes éventuels. Barres par valeur : fausses catégories. Boxplot seul : modes masqués
Relation taille-poids selon le sexe Deux variables quantitatives continues et une qualitative Nuage de points avec symbole ou couleur selon le sexe et, si utile, une tendance par groupe. Barres de moyennes : relation individuelle et dispersion perdues
Durée d’hospitalisation dans trois services Durée quantitative et service qualitatif Boxplots juxtaposés, éventuellement complétés par les points ou des violons. Barres de moyennes : asymétrie et valeurs extrêmes masquées
Répartition des professions Profession qualitative nominale Barres ordonnées par effectif ou fréquence. Diagramme circulaire : comparaison de sept angles difficile
Réponse clinique selon le traitement Réponse qualitative ordinale et traitement qualitatif Barres empilées à 100 %, avec le même ordre de modalités. Effectifs bruts : comparaison trompeuse si les tailles diffèrent
Proportion ayant attendu au plus une durée donnée Temps quantitatif continu Fonction de répartition empirique : lecture directe de la proportion cumulée. Histogramme : cumul difficile à lire à un seuil quelconque

3. Couleurs, formes et types de lignes

L’emploi simultané de plusieurs codes visuels peut être utile :

  • la couleur facilite une lecture rapide ;
  • la forme reste visible en impression en niveaux de gris et aide les personnes ayant une déficience de la vision des couleurs ;
  • le type de ligne distingue les tendances ajustées.

Attention, il ne faut pas tomber dans le piège de la surcharge : trop de codes visuels rend le graphique illisible. Par exemple, si on souhaite distinguer cinq groupes sur le même graphique via des lignes, et qu’au sein de chaque groupe on veut distinguer deux sexes, il vaut peut-être mieux faire deux graphiques : un pour les hommes et un pour les femmes, chacun avec cinq lignes de tendance.

4. Apport complémentaire d’un tableau

Plusieurs réponses sont possibles. Par exemple :

  • pour les durées d’hospitalisation, un tableau peut donner, pour chaque service, les vraies valeurs descriptives (au lieu d’avoir à les lire approximativement sur le boxplot), mais aussi en fournir d’autres : moyenne, écart-type, effectif ou encore nombre de valeurs manquantes ;
  • pour la réponse clinique, un tableau peut indiquer les effectifs et pourcentages de chaque modalité ainsi que le total de chaque groupe ; mais aussi les effectifs manquants ou encore une fréquence cumulée.

Exercice 2 - Le tableau qui pique les yeux

Une étude a inclus 80 adultes reçus dans un centre de santé de Bordeaux entre janvier et mars 2026. Les informations disponibles sont les suivantes :

  • âge disponible pour 77 personnes : moyenne 64,237 ans ; écart-type 11,481 ans ;
  • sexe disponible pour les 80 personnes : 47 femmes et 33 hommes ;
  • douleur disponible pour 78 personnes : absente chez 18, modérée chez 22 et sévère chez 8 et légère chez 30.

Enthousiaste, Luis Cascade a préparé le tableau suivant pour son rapport scientifique :

Variables Résultats p-value
AGE 64.2371 ± 11.4813 0.000
sex_mf 0.7234
1 47 (58.75%)
2 33 (41.25%)
DOULEUR 0.048
0 8 (10.26%)
1 18 (23.08%)
2 30 (38.46%)
3 22 (28.21%)
  1. Relevez tous les problèmes qu’il y a dans ce tableau.
  2. Proposez alors un tableau qui respecte toutes les règles de lisibilité et de clarté

1. Problèmes

Les problèmes concernent à la fois le contenu et la présentation :

  1. Aucun titre ne précise la population, le lieu et la période.
  2. L’effectif total de 80 personnes et les effectifs disponibles pour chaque variable ne sont pas indiqués clairement.
  3. Les noms AGE, sex_mf et DOULEUR sont des noms de fichier, pas des libellés destinés à un lecteur.
  4. Les modalités 0, 1, 2 et 3 ne sont pas traduites. Le lecteur ne peut pas deviner leur signification.
  5. Les modalités de douleur ne sont pas présentées dans leur ordre clinique.
  6. L’âge comporte une précision excessive : les données ne justifient pas quatre décimales.
  7. L’unité de l’âge n’est pas donnée.
  8. Le symbole \(\pm\) n’est pas expliqué ; il doit être indiqué qu’il s’agit de moyenne \(\pm\) écart-type.
  9. Les p-valeurs n’ont aucun rôle dans un tableau purement descriptif sans hypothèse ni comparaison définie (que teste-t-on même ?). La valeur 0,000 est en outre impossible à rapporter ainsi : une p-valeur n’est jamais exactement nulle et s’écrirait, le cas échéant, \(<0,001\).
  10. Le nombre de décimales varie sans justification.
  11. Les valeurs manquantes sont invisibles : trois âges et deux niveaux de douleur manquent.
  12. Les bordures verticales et la grille complète alourdissent la lecture.

Les pourcentages de sexe utilisent bien 80 comme dénominateur et ceux de douleur utilisent 78. Cette différence est mathématiquement correcte, mais elle doit être rendue explicite. Enfin (lui il était subtil, on l’admet), la somme des fréquences de douleur est de 100,1 % à cause des arrondis !

2. Proposition de tableau corrigé

Tableau 2: Caractéristiques des 80 adultes reçus dans un centre de santé de Bordeaux entre janvier et mars 2026.
Caractéristique Moy. (ET) ou \(n\) (%)
Âge, années \((N=77)\) \(64,2 \pm 11,5\)
Sexe \((N=80)\)
 Femmes 47 (58,8)
 Hommes 33 (41,2)
Douleur \((N=78)\)
 Absente 18 (23,1)
 Légère 30 (38,5)
 Modérée 22 (28,2)
 Sévère 8 (10,3)

Abréviations : Moy. : moyenne ; ET : écart-type ; \(N\) : nombre de participants avec données disponibles pour la variable ; \(n\) : effectif dans la modalité.

Exercice 3 - Après le tableau, le graphique

Luis Cascade souhaite comparer la couverture vaccinale de deux groupes : 92 % dans le groupe A (\(n = 25\)) et 94 % dans le groupe B (\(n = 400\)). Il résume ses résultats dans le graphique ci-dessous.

  1. Relevez tous les problèmes qu’il y a dans ce graphique.
  2. Proposer alors ce que vous feriez (on ne demande pas de le redessiner, même si vous pouvez) pour avoir un graphique adéquat.

1. Problèmes

Le graphique peut conduire à une impression très exagérée de différence :

  • l’axe vertical commence autour de 90 % et non à 0 %, si bien qu’un écart de seulement 2 points de pourcentage occupe une grande partie de la hauteur disponible (on a l’impression que la différence est grande, alors que pas du tout) ;
  • les cylindres en trois dimensions déforment la perception des hauteurs et n’apportent aucune information ;
  • les groupes sont appelés “1” et “2” au lieu de A et B ;
  • la légende “Résultats” n’explique pas ce que représentent les couleurs ;
  • les axes ne sont pas nommés ;
  • le fond est gris sans aucune raison valable ;
  • aucun titre ni aucune légende autonome ne précise qu’il s’agit de couverture vaccinale ;
  • les tailles de groupes, très différentes (\(n_A=25\) et \(n_B=400\)), ne sont pas indiquées ;
  • le rouge et le vert sont un choix peu accessible et la couleur est le seul moyen d’identifier les groupes ;
  • l’incertitude est invisible, alors que 92 % dans un groupe de 25 personnes correspond à 23 personnes et est beaucoup moins précis que 94 % dans un groupe de 400, soit 376 personnes.

2. Proposition

On présente d’abord les effectifs, les proportions et leur précision dans un tableau. Les IC 95 % sont calculés par la méthode de Wilson1.

Tableau 3: Couverture vaccinale observée chez 425 personnes réparties dans les groupes A et B.
Groupe Vaccinés Total Couverture (%) IC 95 % de Wilson
A 23 25 92,0 [75,0 ; 97,8]
B 376 400 94,0 [91,2 ; 95,9]
Figure 1: Composition de la couverture vaccinale chez 425 personnes réparties dans les groupes A (\(n=25\)) et B (\(n=400\)).

La couverture observée est supérieure de seulement 2 points dans le groupe B. Les barres empilées à 100 % rendent cette proximité immédiatement visible, tout en montrant la part complémentaire de personnes non vaccinées. Comme les deux barres ont la même hauteur malgré des effectifs très différents, les tailles de groupe sont indiquées sous les barres et les IC 95 % restent présentés dans le tableau.

Exercice 4 - Les deux faces d’une même distribution

Les deux graphiques suivants représentent l’âge de 403 participants à l’enquête sur l’hypertension menée sur l’île Maurice.

(a) Histogramme
(b) Boxplot
Figure 2: Deux représentations de l’âge des 403 participants à l’enquête sur l’hypertension menée du 19 au 21 avril 1999 sur l’île Maurice.
  1. Quelles caractéristiques de la distribution sont plus faciles à voir sur l’histogramme ? Lesquelles sont plus faciles à repérer sur le boxplot ?
  2. Lequel des deux graphiques permet le mieux d’apprécier une éventuelle asymétrie ou la présence de plusieurs modes ? Justifiez.
  3. Lequel permet de lire rapidement la médiane, l’intervalle interquartile et les valeurs potentiellement atypiques ?
  4. Que représente le point isolé sur le boxplot ?
  5. Pour comparer rapidement l’âge dans cinq groupes professionnels, lequel de ces deux types de graphiques privilégieriez-vous ? Quel serait son principal inconvénient ?

1. Informations visibles

L’histogramme montre particulièrement bien la forme complète de la distribution, mais, sans ajouts supplémentaires comme fait en (a), il ne permet pas de lire directement la médiane, les quartiles ou les valeurs atypiques.

A contrario, le boxplot résume la distribution à l’aide d’indicateurs (médiane, quartiles, valeurs atypiques), mais il ne montre pas la forme complète de la distribution ni les modes éventuels.

2. Asymétrie et modes

L’histogramme, car il montre la répartition des observations le long de tout l’axe des âges.

3. Médiane, intervalle interquartile et valeurs atypiques

Le boxplot, car c’est littéralement ce qu’il cherche à représenter.

4. Point isolé

Le point isolé est une observation située au-delà de la limite conventionnelle d’une moustache, soit \(Q_3+1,5\,IQR\) ou \(Q_1-1,5\,IQR\).

5. Comparaison de cinq groupes

On privilégierait cinq boxplots côte à côte, car ils rendent la comparaison des médianes, dispersions et observations atypiques immédiate dans un espace réduit. Leur principal inconvénient est de masquer la forme détaillée de chaque distribution, notamment les modes.

Le raincloud plot, comme montré dans la figure du raincloud plot du chapitre Tests statistiques, combine les avantages des deux représentations : il montre la forme complète de chaque distribution tout en indiquant la médiane et les quartiles. Il est donc particulièrement adapté à la comparaison de plusieurs distributions.

Exercice 5 - Comparer ce qui est comparable

La réponse clinique à quatre semaines a été observée dans deux groupes de tailles différentes.

Réponse clinique Traitement actif (\(n = 60\)) Traitement témoin (\(n = 30\))
Amélioration 42 12
Stabilité 12 12
Aggravation 6 6
  1. Calculez, dans chaque groupe, la proportion de patients dans chacune des trois modalités de réponse.
  2. Expliquez pourquoi des barres juxtaposées représentant les effectifs donneraient une comparaison trompeuse de la composition des réponses.
  3. Quel avantage apporterait un diagramme en barres empilées à 100 % ? Quelle information importante ferait-il moins bien apparaître ?
  4. Pourquoi faut-il afficher les effectifs totaux des groupes, même lorsque le graphique représente des proportions ?

1. Calcul des proportions

Pour le traitement actif, on divise chaque effectif par 60 : \[ \frac{42}{60}=70\,\%,\, \frac{12}{60}=20\,\%,\, \frac{6}{60}=10\,\% \]

Pour le traitement témoin, on divise par 30 : \[ \frac{12}{30}=40\,\%,\, \frac{12}{30}=40\,\%,\, \frac{6}{30}=20\,\% \]

Tableau 4: Réponse clinique à quatre semaines chez 90 patients répartis entre un traitement actif (\(n=60\)) et un traitement témoin (\(n=30\)).
Réponse clinique Traitement actif (%) Traitement témoin (%)
Amélioration 70 40
Stabilité 20 40
Aggravation 10 20

2. Pourquoi les effectifs trompent-ils ?

Le groupe actif est deux fois plus grand. À proportion identique, il produirait donc mécaniquement une barre d’effectif deux fois plus haute. Par exemple, on observe 6 aggravations dans chaque groupe, mais cela représente 10 % du groupe actif contre 20 % du groupe témoin. Comparer seulement les hauteurs brutes masquerait cette différence.

3. Intérêt et limite des barres empilées à 100 %

Le diagramme à 100 % place les deux groupes sur la même base et permet de comparer leur composition. On voit alors que l’amélioration est proportionnellement plus fréquente sous traitement actif.

En revanche, il montre mal les effectifs absolus et la quantité d’information. Il rend aussi la catégorie “stabilité” (placée au centre) moins visible que les deux autres, comme elle ne commence pas à zéro.

4. Pourquoi afficher les effectifs totaux ?

Une proportion de 40 % calculée sur 30 personnes est moins précise qu’une proportion de 40 % calculée sur plusieurs centaines. Le total permet donc au lecteur de juger la précision et de retrouver les effectifs. On peut écrire directement “actif, \(n=60\)” et “témoin, \(n=30\)” sous les barres ou dans la légende.

Exercice 6 - Qui trouve l’indice le plus vite ?

Lors du week-end de cohésion proposé par ESPASS, une chasse au trésor oppose deux équipes. Pour obtenir l’indice suivant, chaque étudiant doit résoudre une même énigme. On mesure, en minutes, le temps nécessaire à huit étudiants de chaque groupe pour trouver la solution :

  • groupe A : 2, 3, 3, 5, 7, 8, 12, 15 ;
  • groupe B : 1, 2, 2, 4, 5, 6, 9, 10.
Figure 3: Fonctions de répartition empiriques des temps nécessaires pour résoudre l’énigme dans les groupes A et B, comprenant chacun huit étudiants.
  1. Pourquoi les courbes progressent-elles par sauts de \(1/8=12,5\,\%\) ?
  2. Pour chaque groupe, calculez la fréquence cumulée aux seuils de 5 puis de 10 minutes.
  3. Calculez la proportion d’étudiants ayant mis strictement plus de 10 minutes pour résoudre l’énigme dans chaque groupe.
  4. Retrouvez les résultats des questions 2 et 3 sur le graphique et expliquez comment les lire.
  5. Proposez une interprétation des résultats.

1. Taille des sauts

Chaque groupe contient huit étudiants. Lorsqu’un étudiant supplémentaire a résolu l’énigme, la fréquence cumulée augmente de : \[ \frac{1}{8}=0,125=12,5\,\% \] Les ex aequo produisent un saut multiple : par exemple, deux étudiants terminant au même temps font augmenter la courbe de 25 points.

2. Fréquences cumulées

La fréquence cumulée au seuil \(t\) est la proportion d’étudiants dont le temps est inférieur ou égal à \(t\).

  • Groupe A : quatre temps sont \(\leq5\) (2, 3, 3, 5), donc \[ F_A(5)=\frac48=50\,\% \] Six temps sont \(\leq10\) (2, 3, 3, 5, 7, 8), donc \[ F_A(10)=\frac68=75\,\% \]
  • Groupe B : cinq temps sont \(\leq5\) (1, 2, 2, 4, 5), donc \[ F_B(5)=\frac58=62,5\,\% \] Les huit temps sont \(\leq10\), donc \[ F_B(10)=\frac88=100\,\% \]

3. Temps strictement supérieur à 10 minutes

Une fréquence peut être interprétée comme une probabilité empirique. Ainsi, \(\mathbb{P}(T>10) = 1-\mathbb{P}(T\leq10)\), avec \(\mathbb{P}(T\leq10) = F(10)\) la fréquence cumulée en 10. Ainsi : \[ \mathbb{P}(T>10)=1-F(10) \]

Dans le groupe A, deux étudiants ont mis 12 et 15 minutes : \[ \frac28=25\,\% \] Dans le groupe B, aucun temps ne dépasse 10 minutes : \[ \frac08=0\,\% \]

4. Lecture graphique

Pour lire \(F(5)\) ou \(F(10)\), on part du seuil sur l’axe horizontal, on monte jusqu’à la courbe en escalier puis on lit la hauteur sur l’axe vertical. Pour lire la proportion strictement supérieure à 10 minutes, on prend l’écart entre la hauteur de la courbe en 10 et 100 %.

5. Interprétation

Les étudiants du groupe B résolvent globalement l’énigme plus rapidement (la courbe en pointillés est toujours au-dessus - ou chevauchant - celle du groupe A) : à 5 minutes, 62,5 % ont terminé contre 50 % dans le groupe A ; à 10 minutes, tous ont terminé contre 75 % dans le groupe A. De plus, un quart du groupe A dépasse 10 minutes, contre aucun étudiant du groupe B.

Notes de bas de page

  1. Ceci, car avec la formule approximative présentée en cours, l’IC du groupe A donne \([81,4\,\%;102,6\,\%]\), dont la borne supérieure est impossible pour une proportion. La méthode de Wilson évite ce problème.↩︎