1 Rapport de cotes
1.1 Une cote ?
En épidémiologie, on sait déjà étudier l’association entre une exposition et un événement binaire. Ceci se quantifie par une mesure d’association : le rapport de cotes (ou odds ratio en anglais).
Une probabilité \(p\) décrit la fréquence attendue d’un événement. Elle est toujours comprise entre 0 et 1. Sa proche cousine est la cote (ou odds en anglais).
La cote compare la probabilité que l’événement survienne à la probabilité qu’il ne survienne pas. Ainsi, contrairement à la probabilité, une cote appartient à \(]0 \, ; \, +\infty[\)…
- … égale à 1 si l’événement a autant de chance d’arriver que de ne pas arriver (\(p=0,5\)) ;
- … inférieure à 1 si l’événement a moins de chance d’arriver que de ne pas arriver (\(p<0,5\)) ;
- … supérieure à 1 si l’événement a plus de chance d’arriver que de ne pas arriver (\(p>0,5\)).
| Probabilité p | 0,01 | 0,05 | 0,10 | 0,20 | 0,50 | 0,80 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Cote p/(1-p) | 0,010 | 0,053 | 0,111 | 0,250 | 1,000 | 4,000 |
Une cote n’est donc pas une probabilité ! Une cote de 2 ne correspond pas à une probabilité de 200 %, mais à une probabilité de \(2/(1+2)=0,667 = 66,7\%\).
1.2 Comment comparer deux cotes ?
Dans notre contexte, on s’intéresse à l’association entre une exposition (p. ex., être fumeur ou non, avoir été exposé à un produit chimique ou non) et un événement (p. ex., développer un cancer ou non). La cote peut donc se calculer dans deux groupes : chez les “exposés” (p. ex., les fumeurs) et les non-exposés (p. ex., les non-fumeurs). Le rapport de cotes (RC), ou odds ratio (OR), est alors un moyen de comparer les cotes de l’événement dans les deux groupes !
En calculant l’OR, on a trois cas possibles :
- \(OR=1\) : les cotes sont identiques dans les deux groupes ;
- \(OR>1\) : les cotes de l’événement sont plus élevées dans le groupe exposé ;
- \(OR<1\) : les cotes de l’événement sont plus faibles dans le groupe exposé.
C’est ce qu’on a dit précédemment, mais avec des cotes cette fois-ci …
Pour calculer un OR, il est commun de construire un tableau de contingence \(2\times2\), avec en lignes l’exposition et en colonnes l’événement, tel que présenté dans le Tableau 2.
| \(Y=1\) | \(Y=0\) | |
|---|---|---|
| \(E=1\) | \(a\) | \(b\) |
| \(E=0\) | \(c\) | \(d\) |
Avec un tel tableau, une cote se calcule en ligne ou en colonne. La cote d’événement est de \(a/b\) chez les exposés et de \(c/d\) chez les non-exposés. Dans tous les cas, l’odds ratio vaut donc : \[ \widehat{OR}_{\text{brut}}=\frac{a/b}{c/d} = \frac{ad}{bc} \]
Au lieu de faire le rapport des cotes d’événements, on peut faire le rapport des cotes de l’exposition. Chez les cas, la cote d’exposition est de \(a/c\) et chez les témoins, elle est de \(b/d\). L’OR est alors le rapport de ces deux cotes, ce qui donne encore une fois \(ad/bc\).
- Un OR de 2 ne signifie pas que le risque est multiplié par 2 ! Il signifie que la cote de l’événement est 2 fois plus élevée chez les exposés que chez les non-exposés.
- L’interprétation précédente est celle d’un risque relatif (RR), une mesure d’association qui s’obtient avec le rapport “nombre d’événements / nombre total de personnes dans le groupe d’exposition” (il ne se calcule donc qu’en ligne).
- Si l’événement est rare, OR et RR sont proches et l’OR peut s’interpréter comme un RR.
Pourquoi un événement rare ferait que l’OR et le risque relatif (RR) soient proches ? Du Tableau 2, \(RR = \tfrac{a/(a+b)}{c/(c+d)}\). Or, si l’événement est rare, \(a\ll b\) et \(c \ll d\), donc \(a+b \approx b\) et \(c+d \approx d\). Ainsi, \(RR \approx \tfrac{a/b}{c/d} = OR\), CQFD !
Comme tout en statistique, on peut quantifier l’incertitude de ce qu’on estime ; ici, un OR. Tout d’abord, on a besoin de l’erreur standard du logarithme de l’OR : \[ SE\left[\log\left(\widehat{OR}_{\text{brut}}\right)\right] =\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}} \]
Cette formule suppose que les quatre cellules \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) ne sont pas nulles !
L’intervalle de confiance à 95 % est alors obtenu par : \[ IC_{95\%}\left(\widehat{OR}_{\text{brut}}\right) =\left[ \exp\left(\log\left(\widehat{OR}_{\text{brut}}\right)-1,96\,SE\right)\, ; \, \exp\left(\log\left(\widehat{OR}_{\text{brut}}\right)+1,96\,SE\right) \right] \] où \(SE\) correspond à l’erreur standard de \(\log(\widehat{OR}_{\text{brut}})\).
Il existe plusieurs formules pour cet IC. Ici, il s’agit de l’approximation de Wald sur l’échelle logarithmique.
Enfin, comme vu dans les chapitres précédents, on peut se demander si l’OR est significativement différent de 1. Pour un test bilatéral au seuil de 5 %, regarder si l’IC 95 % contient 1 donne la même conclusion que le test de Wald correspondant. Si l’IC contient 1, on ne met pas en évidence d’association statistiquement significative au seuil de 5 %.
Dans un article, l’OR et son intervalle de confiance sont indispensables. La p-valeur peut les compléter, mais elle ne remplace ni l’estimation ni sa précision.
1.3 OR de Mantel-Haenszel
L’OR brut compare deux groupes. Or, cette association peut être déformée par une variable tierce, notons-la \(S\). Pour essayer de corriger cela, on peut stratifier l’analyse selon \(S\).
Supposons que \(S\) ait \(K\) strates. Alors, dans chaque strate \(k\), on produit un tableau \(2\times2\). On peut alors calculer un OR brut par strate \(OR_k\) et un OR commun : l’OR de Mantel-Haenszel.
En 1959, Nathan Mantel et William Haenszel présentent cette approche d’analyse stratifiée dans le contexte d’études rétrospectives de maladies (Mantel et Haenszel 1959).
Classiquement :
- Si les OR bruts diffèrent entre eux, on peut suspecter que \(S\) est un modificateur d’effet. On teste cela avec le test de Woolf ;
- Si le test de Woolf n’est pas significatif, on peut comparer si la variation relative entre l’OR brut (calculé sans stratification) et l’OR de Mantel-Haenszel est > 10-20 %. Si c’est le cas, on peut suspecter que \(S\) est un facteur de confusion.