3 Croisement de deux variables

3.1 Diagramme en 3D

Je le fais parce que c’est vous, mais ne faites vraiment jamais de diagrammes en 3D. C’est moche, c’est horrible à coder, et ça va vous causer de sérieux maux de tête.

Figure 1: Représentation 3D de la distribution des 402 sujets âgés de plus de 18 ans au sein de l’enquête sur l’hypertension du 19 au 21 avril 1999 sur l’île Maurice, selon le sexe et la profession.

Magnifique, n’est-ce pas ? Non ? Normal.

3.2 Deux variables qualitatives

Lorsque deux variables qualitatives sont étudiées conjointement, le choix du diagramme dépend de la question posée : souhaite-t-on comparer des effectifs ou des proportions ?

  • Dans un diagramme en barres juxtaposées, la hauteur de chaque barre représente un effectif (voir Figure 2).
  • Dans un diagramme en barres empilées à 100 %, chaque barre représente la totalité des individus d’un groupe et a donc la même longueur. Les segments indiquent la proportion occupée par chaque modalité de la seconde variable au sein de ce groupe, ce qui facilite la comparaison des compositions relatives (voir Figure 3).
Figure 2: Distribution des 402 sujets âgés de plus de 18 ans ayant participé à l’enquête sur l’hypertension du 19 au 21 avril 1999 sur l’île Maurice, selon la profession et le sexe.
Figure 3: Distribution du sexe au sein de chaque profession chez les 402 sujets âgés de plus de 18 ans ayant participé à l’enquête sur l’hypertension du 19 au 21 avril 1999 sur l’île Maurice.
Note

Les barres empilées à 100 % facilitent la comparaison des proportions, mais elles masquent les différences d’effectifs entre groupes. C’est pourquoi il faut afficher les \(n\) par groupe ou les rappeler dans la légende.

3.3 Une variable quantitative selon une variable qualitative

Pour comparer une variable quantitative entre plusieurs groupes, le boxplot est une représentation efficace. Il permet de comparer les médianes, les dispersions et les valeurs atypiques potentielles.

Figure 4: Distribution de l’âge selon le sexe chez les 402 sujets âgés de plus de 18 ans ayant participé à l’enquête sur l’hypertension du 19 au 21 avril 1999 sur l’île Maurice.

Le boxplot est un bon outil de description : position de la médiane, dispersion centrale, asymétrie apparente et valeurs atypiques.

3.4 Deux variables quantitatives et un groupe

Lorsque deux variables quantitatives sont étudiées en tenant compte d’un groupe, on peut reprendre le nuage de points en ajoutant une forme ou une couleur par groupe. Pour rester lisible à l’impression, il est préférable de combiner la couleur avec une forme de point ou un type de ligne.

Figure 5: Relation entre la taille et le poids selon le sexe chez les 402 sujets âgés de plus de 18 ans ayant participé à l’enquête sur l’hypertension du 19 au 21 avril 1999 sur l’île Maurice. Les formes des points et les types de lignes complètent la couleur pour faciliter la lecture en noir et blanc.

3.5 Effectif ou fréquence cumulée

Pour une variable quantitative ou ordinale, il peut être utile de représenter les fréquences cumulées. La fonction de répartition empirique est : \[ \widehat F(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mathbf 1_{\{x_i\le x\}}. \]

Autrement dit, pour une valeur donnée \(x\), \(\widehat F(x)\) correspond à la proportion d’observations inférieures ou égales à \(x\). Elle représente simplement, graphiquement, les fréquences cumulées que nous avons calculées dans le chapitre précédent, en section “Variables qualitatives” du chapitre Introduction à la statistique.

NoteExemple

Soient les âges suivants : 12, 15, 17, 22, 14, 38, 27, 20. La fréquence cumulée à 20 ans vaut \(5/8 = 62{,}5 \%\), car cinq observations sont inférieures ou égales à 20 ans : 12, 14, 15, 17 et 20.

Cette représentation peut être utile pour :

  • comparer deux distributions sans choisir de largeur de classe pour un histogramme ;
  • lire des percentiles ;
  • visualiser des distributions de durées ;
  • détecter des différences qui concernent seulement une partie de l’échelle.
Figure 6: Fonctions de répartition empiriques de l’âge selon le sexe chez les 402 sujets âgés de plus de 18 ans ayant participé à l’enquête sur l’hypertension du 19 au 21 avril 1999 sur l’île Maurice.

La courbe de fréquence cumulée se lit verticalement : pour un âge donné, on lit la proportion de sujets ayant au plus cet âge. Lorsque deux courbes ne se croisent pas, la courbe située au-dessus correspond globalement à des valeurs plus faibles : pour tout seuil donné, une plus grande proportion du groupe est déjà située sous ce seuil. Si les courbes se croisent, aucune relation d’ordre globale ne peut être conclue sans préciser la partie de l’échelle considérée.