Exercices

Exercice 1 - Décris-moi tes données, je te dirai qui tu es

Pour chacune des situations suivantes, quelle loi statistique est la plus appropriée pour modéliser la variable aléatoire d’intérêt ?

1. Le résultat d’un test de dépistage chez une personne est codé 1 s’il est positif et 0 s’il est négatif.
2. Dans une population homogène, on a mesuré la concentration d’un biomarqueur continu, plutôt symétrique, de moyenne \(\mu\) et de variance \(\sigma^2\).
3. On compte le nombre d’admissions aux urgences pendant une heure, dans une période où le rythme moyen d’admission est supposé stable.
4. Parmi 50 personnes testées indépendamment, on compte le nombre de tests positifs, en supposant que chaque personne a une probabilité de positivité égale à 0,08.

AstuceCorrigé

1. Résultat individuel d’un dépistage

Ici, nous n’avons que deux possibilités : être positif (1) ou négatif (0). La réponse étant binaire, si on note \(p\) la probabilité d’un test positif, alors : \[ X\sim\mathcal B(p), \] où \(\mathcal B(p)\) désigne ici une loi de Bernoulli et \(X\) la variable aléatoire représentant le résultat du test.

2. Concentration d’un biomarqueur

Ici, peu de doutes : on a un couple moyenne-écart-type, avec une distribution plutôt symétrique. Une bonne distribution serait celle de la loi normale : \[ X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2) \] Il s’agit d’une loi normale, adaptée ici à une variable continue dont la distribution est supposée symétrique autour de \(\mu\).

3. Nombre d’admissions pendant une heure

On compte des événements sur une durée fixe, à rythme moyen stable. Dans un tel contexte, la loi de Poisson est adaptée : \[ X\sim\mathcal P(\lambda), \] où \(\lambda\) est le nombre moyen d’admissions par heure. Ce modèle suppose notamment que les événements surviennent indépendamment selon un rythme approximativement constant.

4. Nombre de tests positifs parmi 50

On répète 50 fois une épreuve binaire indépendante avec la même probabilité \(p=0,08\). Le nombre total de résultats positifs suit donc : \[ X\sim\mathcal B(50\, ; \,0,08), \] une loi binomiale. La Bernoulli décrit un seul test ; la binomiale décrit leur somme.

Exercice 2 - Compatible ou suspecte ?

Une agence de santé estime que la proportion de personnes présentant une infection donnée est \(\pi=0,10\). Dans un nouvel échantillon indépendant de 200 personnes, 32 sont infectées.

1. Calculez la fréquence observée \(\hat p\).
2. Vérifiez les conditions de l’approximation normale pour construire un intervalle de fluctuation de la fréquence sous l’hypothèse \(\pi=0,10\).
3. Calculez l’intervalle de fluctuation à 95 %.
4. La fréquence observée est-elle compatible avec la valeur de référence au niveau de 95 % ? Justifiez à partir de l’intervalle.
5. Sans refaire tous les calculs, indiquez comment la largeur de l’intervalle évoluerait si l’échantillon comportait 800 personnes au lieu de 200.

AstuceCorrigé

1. Fréquence observée

Parmi 200 personnes, 32 sont infectées : \[ \widehat p=\frac{32}{200}=0,16=16\,\% \]

2. Conditions de l’approximation normale

Pour un intervalle de fluctuation sous l’hypothèse \(\pi=0,10\), on examine les effectifs attendus : \[ n\pi=200\times0,10=20 \text{ et } n(1-\pi)=200\times0,90=180 \] Comme ces deux quantités sont supérieures à 5, l’approximation normale est raisonnable.

3. Intervalle de fluctuation à 95 %

Cet intervalle décrit les fréquences que l’on observerait habituellement dans des échantillons de 200 personnes si la proportion vraie était bien 10 %.

Ainsi : \[ IF_{95\,\%} =\pi\pm 1,96 \times \sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}} = 0,10\pm 1,96 \times \sqrt{\frac{0,10\times0,90}{200}} =[0,0584\, ; \,0,1416] \] ou en pourcentage, entre 5,8 % et 14,2 %.

4. Compatibilité

La fréquence observée de 16 % est supérieure à la borne haute de 14,2 %. Elle se situe donc en dehors de l’intervalle de fluctuation. Au niveau de 95 %, les données ne sont pas compatibles avec une proportion de référence égale à 10 %. Autrement dit, si la proportion vraie était 10 %, observer 16 % ou une valeur aussi éloignée serait considéré comme inhabituel.

5. Effet d’une taille de 800

La formule contient le terme \(1/\sqrt n\). Passer de 200 à 800 revient à multiplier \(n\) par 4 : \[ \frac{1}{\sqrt{800}}=\frac{1}{2\sqrt{200}} \] La marge et la largeur totale de l’intervalle seraient donc divisées par 2. À titre indicatif, on obtiendrait environ : \[ 0,10\pm0,0208=[0,0792\, ; \,0,1208] \]

Exercice 3 - Combien, à peu près ?

Dans une enquête portant sur 300 patients, 72 déclarent avoir renoncé à au moins une consultation au cours des douze derniers mois.

1. Identifiez l’unité statistique, la variable mesurée et son type.

2. Estimez la proportion de patients ayant renoncé à une consultation.

3. Vérifiez les conditions de l’intervalle de confiance approximatif pour une proportion.

4. Calculez l’intervalle de confiance à 95 % de la proportion.

5. Rédigez une interprétation appliquée à la population dont est issu l’échantillon.

6. Parmi les affirmations suivantes, indiquez celles qui sont incorrectes et expliquez précisément l’erreur :

   1. “Il y a 95 % de probabilité que la proportion vraie soit dans l’intervalle calculé.”

   2. “Si l’on répétait un grand nombre d’enquêtes comparables et que l’on construisait chaque fois l’intervalle de la même manière, environ 95 % de ces intervalles contiendraient la proportion vraie.”

   3. “Environ 95 % des patients de la population ont renoncé à une consultation.”

AstuceCorrigé

1. Unité, variable et type

L’unité statistique est un patient interrogé. La variable indique si cette personne a renoncé à au moins une consultation au cours des douze derniers mois. Elle prend deux modalités, oui ou non : c’est une variable qualitative binaire.

2. Estimation ponctuelle

La proportion observée est : \[ \widehat p=\frac{72}{300}=0,24=24\,\% \]

3. Conditions de l’intervalle approximatif

On vérifie les effectifs attendus : \[ n\widehat p=300\times0,24=72 \text{ et } n(1-\widehat p)=300\times0,76=228 \] qui sont alors supérieures à 5 : l’approximation normale est raisonnable.

4. Calcul de l’intervalle de confiance

L’erreur standard estimée vaut : \[ SE(\widehat p) =\sqrt{\frac{0,24(1-0,24)}{300}} =\sqrt{0,000608} =0,0247 \]

La marge d’erreur à 95 % est : \[ 1,96\times0,0247=0,0483. \]

Donc : \[ IC_{95\,\%} = \widehat p\pm 1,96\times SE(\widehat p) = 0,24 \pm 1,96 \sqrt{\frac{0,24(1-0,24)}{300}} =[0,1917\, ; \,0,2883] \] ou en pourcentage, entre 19,2 % et 28,8 %.

5. Interprétation

Sous l’hypothèse que les 300 patients constituent un échantillon aléatoire et représentatif de la population étudiée, on estime, avec un niveau de confiance de 95 %, que la proportion de patients ayant renoncé à au moins une consultation au cours des douze derniers mois se situe entre 19,2 % et 28,8 %.

Le niveau de confiance de 95 % signifie que, si l’on répétait un très grand nombre de fois cette enquête dans les mêmes conditions et que l’on construisait à chaque fois un intervalle selon cette méthode, environ 95 % de ces intervalles contiendraient la véritable proportion dans la population.

On ne sait cependant pas si c’est le cas avec notre intervalle.

6. Analyse des trois affirmations

1. Archi faux. Il ne faut surtout pas faire cette erreur, et on espère que vous retiendrez cela.

2. Correcte. C’est - grossièrement - la définition.

3. Incorrecte. Le nombre 95 % est le niveau de confiance, pas la proportion estimée…

Exercice 4 - Un poids, deux questions

Une source de référence indique que, dans une population de nouveau-nés, le poids moyen est \(\mu=3300\) g et l’écart-type \(\sigma=480\) g. Une maternité observe, sur un échantillon indépendant de 64 nouveau-nés, un poids moyen de 3450 g. On admet que l’approximation normale de la moyenne est raisonnable.

1. En considérant \(\mu\) et \(\sigma\) comme connus, calculez l’intervalle de fluctuation à 95 % de la moyenne observée pour des échantillons de 64 nouveau-nés.
2. La moyenne observée dans la maternité est-elle compatible avec les valeurs de référence ? Rédigez la conclusion dans le contexte.

On se place maintenant dans une autre perspective : on ne suppose plus connue la moyenne de la population dont provient l’échantillon. Dans les 64 observations, l’écart-type empirique est \(s=480\) g. Pour les calculs, utilisez \(t_{0,975\, ; \,63}=2,00\).

3. Calculez l’intervalle de confiance à 95 % de la moyenne de cette population.
4. Interprétez cet intervalle.
5. Comparez les centres des deux intervalles calculés et expliquez cette différence à partir des questions auxquelles ils répondent.
6. Si la taille d’échantillon était multipliée par quatre, avec une moyenne et un écart-type identiques, comment évoluerait approximativement la marge d’erreur ?

AstuceCorrigé

1. Intervalle de fluctuation de la moyenne

Ici, la moyenne de référence \(\mu=3300\) g et l’écart-type de population \(\sigma=480\) g sont supposés connus. Pour un échantillon de \(n=64\), l’intervalle est donc : \[ IF_{95\,\%} = \mu \pm 1,96 \frac{\sigma}{\sqrt n} = 3300 \pm 1,96 \frac{480}{\sqrt{64}} =[3182,4 \, ; \, 3417,6]\text{ g } \]

2. Compatibilité de la moyenne observée

La moyenne observée, 3450 g, est supérieure à la borne haute de 3417,6 g. Elle n’est donc pas compatible, au niveau de 95 %, avec une population de moyenne 3300 g et d’écart-type 480 g selon ce modèle.

On conclut que le poids moyen observé dans cette maternité est inhabituellement élevé par rapport à la référence.

3. Intervalle de confiance de la moyenne inconnue

Ici, on change de perspective : on ne connait pas la vraie valeur de la moyenne de la population. À la place, on l’estime à partir de données, où on obtient \(\bar x=3450\) g. Avec \(t_{0,975;63}=2,00\), on a : \[ IC_{95\,\%} = \bar x \pm t_{0,975;63} \frac{s}{\sqrt n} = 3450 \pm 2,00 \times \frac{480}{\sqrt{64}} =[3330 \, ; \, 3570]\text{ g } \]

4. Interprétation de l’intervalle de confiance

Dans la population dont les 64 nouveau-nés constituent un échantillon indépendant représentatif, les données sont compatibles avec un poids moyen compris approximativement entre 3330 g et 3570 g.

La valeur de référence de 3300 g se situe juste en dessous de cet intervalle, ce qui est cohérent avec la conclusion obtenue à la question 2.

5. Pourquoi les centres diffèrent-ils ?

L’intervalle de fluctuation est centré sur 3300 g, car il demande quelles moyennes d’échantillon seraient plausibles si la valeur de référence était vraie.

L’intervalle de confiance est centré sur 3450 g, car il part de la moyenne observée pour estimer la moyenne inconnue de la population. Les formules se ressemblent, mais elles ne répondent pas à la même question.

6. Taille d’échantillon multipliée par quatre

La marge d’erreur est proportionnelle à \(1/\sqrt n\). Si \(n\) est multiplié par 4 : \[ \frac{1}{\sqrt{4n}}=\frac{1}{2\sqrt n}. \] À moyenne, écart-type et quantile presque identiques, la marge serait approximativement divisée par 2, passant d’environ 120 g à environ 60 g. Multiplier la précision par deux demande donc ici quatre fois plus d’observations.