3 Association entre variables qualitatives
Lorsqu’on travaille avec des variables qualitatives, on utilise fréquemment le test du \(\chi^2\). Il en existe plusieurs versions suivant la question de recherche, mais la plus fréquente est le test du \(\chi^2\) d’indépendance, qui évalue si deux variables qualitatives sont associées. Pour l’utiliser, nous devons d’abord construire un tableau de contingence.
3.1 Tableau de contingence
Pour construire un tableau de contingence, il faut :
- Choisir quelle variable sera en ligne et quelle variable sera en colonne ;
- Mettre autant de lignes / colonnes qu’il y a de modalités (p. ex., croiser “sexe” (ligne) avec “tabagisme” (colonne), on aura deux lignes (“homme” et “femme”), et trois colonnes : “non fumeur”, “fumeur occasionnel” et “fumeur régulier”) ;
- Rajouter une dernière ligne / colonne “total” ;
- Remplir les cases avec les informations qu’on a à disposition.
Pour ce qui suit, on distingue “deux types” de tableaux de contingence : le tableau de contingence observé (celui qu’on vient de construire en gros) et le tableau de contingence théorique.
3.2 Test du \(\chi^2\) d’indépendance
Le test du \(\chi^2\) d’indépendance évalue si deux variables qualitatives sont associées. Il s’applique à un tableau de contingence et compare les effectifs observés aux effectifs qui seraient attendus si les deux variables étaient indépendantes.
Le critère du \(\chi^2\) a été proposé par Karl Pearson en 1900 pour comparer des effectifs observés et attendus (Pearson 1900). Ronald Fisher en a ensuite étudié l’interprétation pour les tableaux de contingence en 1922 (Fisher 1922).
Dans l’exemple précédent, les hypothèses sont : \[ H_0:\text{les deux variables sont indépendantes} \] contre \[ H_1:\text{les deux variables ne sont pas indépendantes} \]
Équivalemment, ce test permet de comparer deux proportions. Ainsi, dans notre contexte, on peut écrire : \[ H_0:\text{la proportion de personnes avec HTA est la même chez les personnes obèses et non obèses} \] contre \[ H_1:\text{la proportion de personnes avec HTA est différente chez les personnes obèses et non obèses} \]
Sous \(H_0\), l’effectif attendu / théorique dans la case \((i,j)\) est : \[ E_{ij}=\frac{(\text{total ligne }i)\times(\text{total colonne }j)}{\text{total général}} \]
Pour que l’approximation par la loi du \(\chi^2\) soit raisonnable, on retiendra ici une règle simple et prudente : les effectifs théoriques doivent tous être au moins égaux à 5. Pour un tableau \(2\times2\) qui ne respecte pas cette règle, on préférera le test exact de Fisher.
Un effectif attendu n’est pas un effectif réellement observé : il peut donc être décimal. Il représente ce que l’on attendrait en moyenne si les deux variables étaient indépendantes, en conservant les totaux de lignes et de colonnes.
Ici, on en observe 24. Cette case contribue donc fortement à l’écart entre le tableau observé et le tableau attendu sous indépendance.
La statistique de test est : \[ \chi^2=\sum_{i,j}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}} \underset{H_0}{\overset{\mathrm{approx.}}{\sim}} \chi^2_{(r-1)(c-1)} \] où \(O_{ij}\) est l’effectif observé, \(E_{ij}\) l’effectif attendu, \(r\) le nombre de lignes et \(c\) le nombre de colonnes du tableau.
Au seuil \(\alpha\), la région critique est : \[ \chi^2>\chi^2_{1-\alpha,(r-1)(c-1)} \] Avec \(\alpha=5\%\) dans un tableau 2x2, la valeur critique est \(\chi^2_{0,95,1}\approx3,84\).
3.3 Correction de Yates
Pour un tableau \(2\times2\) (UNIQUEMENT !), on rencontre parfois le test du \(\chi^2\) avec correction de continuité de Yates. Il est adéquat d’utiliser cette correction quand un effectif théorique est compris entre 2,5 et 5. Cependant, ce n’est pas pour autant magique ; et si les effectifs attendus sont trop faibles, le test exact de Fisher reste préférable.
Frank Yates a présenté cette correction en 1934 dans son étude des tableaux à petits effectifs (Yates 1934).
La statistique corrigée remplace l’écart \(O_{ij}-E_{ij}\) par un écart réduit de 0,5 en valeur absolue : \[ \chi^2_{\mathrm{Yates}} =\sum_{i,j}\frac{\max(0\, ; \,|O_{ij}-E_{ij}|-0,5)^2}{E_{ij}} \underset{H_0}{\overset{\mathrm{approx.}}{\sim}} \chi^2_{1} \]
Au seuil \(\alpha\), la région critique reste : \[ \chi^2_{\mathrm{Yates}}>\chi^2_{1-\alpha,(r-1)(c-1)} \]
La correction de Yates peut aussi être trop conservatrice (cela signifie qu’on peut ne pas rejeter \(H_0\) alors qu’il y a une association réelle). Si les effectifs sont vraiment faibles dans un tableau \(2\times2\), le test exact de Fisher est souvent plus approprié.
3.4 Test exact de Fisher
Le test exact de Fisher est une alternative au \(\chi^2\) pour les tableaux \(2\times2\) lorsque les effectifs sont petits. Ce test se fait difficilement à la main, mais il est très simple à réaliser avec un logiciel statistique. Il est dit “exact” car sa p-valeur ne repose pas sur l’approximation asymptotique par une loi du \(\chi^2\).
Fisher a illustré un raisonnement exact en 1935 avec son célèbre exemple de dégustation de thé (Fisher 1935). Yates avait déjà décrit un calcul exact pour de petits tableaux en 1934 (Yates 1934).