Exercices

Dans tous les exercices, le seuil de première espèce est fixé à \(\alpha=5\,\%\), sauf indication contraire. Une réponse complète doit préciser les hypothèses, le test choisi, ses principales conditions d’application, la décision statistique et une conclusion rédigée dans le contexte.

Exercice 1 - H0 ou H1 : choisissez votre camp

Pour chacune des questions suivantes :

  1. définissez le ou les paramètres utiles ;
  2. écrivez \(H_0\) et \(H_1\) ;
  3. indiquez si l’alternative est bilatérale ou unilatérale, lorsque cette distinction s’applique ;
  4. si l’alternative est unilatérale, précisez le sens de l’effet attendu.

Situations étudiées :

  1. La pression artérielle systolique moyenne diffère-t-elle entre les travailleurs de jour et les travailleurs de nuit ?

  2. Le statut vaccinal et la survenue d’une infection au cours de l’hiver sont-ils associés dans la population étudiée ?

  3. Un nouveau traitement réduit-il la durée moyenne d’une crise de migraine par rapport au traitement de référence ?

  4. La répartition des groupes sanguins A, B, AB et O chez les donneurs d’un département diffère-t-elle de la répartition nationale de référence ?

a. Pression artérielle des travailleurs de jour et de nuit

Notons \(\mu_J\) la pression artérielle systolique moyenne des travailleurs de jour et \(\mu_N\) celle des travailleurs de nuit. Le mot “diffère” n’indique aucun sens privilégié, donc on pose \[ H_0:\mu_J=\mu_N \iff \mu_J-\mu_N=0, \] contre l’hypothèse alternative bilatérale \[ H_1:\mu_J\neq\mu_N \] Autrement dit, en français, on teste si la pression artérielle moyenne est la même ou non entre les deux groupes, quel que soit le sens de la différence.

b. Statut vaccinal et infection

Notons, par exemple, \(p_V\) la probabilité d’infection chez les personnes vaccinées et \(p_{NV}\) celle des personnes non vaccinées. L’absence d’association s’écrit : \[ H_0:p_V=p_{NV}, \] ou, de manière équivalente, “le statut vaccinal et l’infection sont indépendants”. L’alternative est : \[ H_1:p_V\neq p_{NV}, \] c’est-à-dire qu’il existe une association. Pour un test du \(\chi^2\) d’indépendance, cette alternative est bilatérale.

C’est un test global d’association, donc l’alternative ne peut pas être unilatérale.

c. Nouveau traitement et durée de migraine

Notons \(\mu_N\) la durée moyenne sous le nouveau traitement et \(\mu_R\) la durée moyenne sous le traitement de référence. Le verbe “réduit” fixe le sens attendu. On pose alors \[ H_0:\mu_N=\mu_R, \] contre l’hypothèse alternative unilatérale \[ H_1:\mu_N<\mu_R \] Plus précisément, l’alternative est unilatérale à gauche pour la différence \(\mu_N-\mu_R\).

d. Répartition des groupes sanguins

Notons \((p_A,p_B,p_{AB},p_O)\) les proportions départementales et \((p_A^0,p_B^0,p_{AB}^0,p_O^0)\) les proportions nationales de référence. On pose alors : \[ H_0: (p_A,p_B,p_{AB},p_O) =(p_A^0,p_B^0,p_{AB}^0,p_O^0), \] contre \[ H_1:\text{au moins une des quatre proportions diffère de sa valeur de référence.} \] Il s’agit d’une alternative globale de test d’adéquation du \(\chi^2\), sans direction particulière.

Exercice 2 - Quel test pour quelle histoire ?

Pour chaque situation ci-dessous, identifiez la variable réponse, son type, le caractère indépendant ou apparié des observations, puis choisissez le test le plus adapté parmi ceux du chapitre. Citez aussi la/les condition(s) d’application principale(s) à vérifier.

  1. Comparer la diminution moyenne de pression artérielle entre deux groupes indépendants dont les dispersions sont nettement différentes.
  2. Chez 40 adultes, comparer la cholestérolémie moyenne à une valeur de référence de 2 g/L.
  3. Étudier l’association entre un traitement et un événement indésirable rare dans un tableau \(2\times2\) comportant des effectifs attendus inférieurs à 5.
  4. Comparer la répartition observée de quatre groupes sanguins à des proportions nationales.
  5. Comparer un score quantitatif avant et après intervention chez les mêmes patients, lorsque les différences intra-sujet sont approximativement normales.
  6. Étudier l’association entre le sexe et l’adhésion à une campagne vaccinale dans un grand échantillon, avec des effectifs attendus tous supérieurs à 5.
  7. Comparer le délai moyen de récupération entre quatre programmes de réadaptation indépendants.
  8. Comparer les distributions d’un score ordinal de douleur entre deux groupes indépendants.
  9. Comparer un statut “fumeur / non-fumeur” avant et après une intervention chez les mêmes personnes.

On propose de résumer les réponses dans le tableau ci-dessous :

Tableau 1: Choix du test statistique dans neuf situations pédagogiques fictives.
Situation Structure des données Test proposé Conditions principales
1. Diminution moyenne, deux dispersions différentes Réponse quantitative ; deux groupes indépendants Test \(t\) de Welch Indépendance ; distributions sans forte anomalie ou effectifs assez grands
2. Cholestérolémie moyenne comparée à 2 g/L Réponse quantitative ; un échantillon de 40 adultes Test \(t\) à un échantillon Indépendance ; normalité approximative ou effectif suffisant ; absence de valeurs extrêmes majeures
3. Traitement et événement rare Deux variables qualitatives ; groupes indépendants ; petits effectifs attendus Test exact de Fisher Indépendance entre personnes ; aucune approximation par grands effectifs
4. Quatre groupes sanguins et proportions fixées Une variable qualitative à quatre modalités \(\chi^2\) d’adéquation Indépendance ; catégories exclusives ; effectifs attendus suffisants
5. Score quantitatif avant-après Réponse quantitative ; mesures appariées Test \(t\) apparié Paires indépendantes ; différences intra-sujet approximativement normales ou assez nombreuses
6. Sexe et adhésion Deux variables qualitatives ; observations indépendantes \(\chi^2\) d’indépendance Indépendance ; effectifs attendus tous supérieurs à 5
7. Délai moyen, quatre programmes Réponse quantitative ; quatre groupes indépendants ANOVA à un facteur Indépendance ; variances comparables
8. Score ordinal de douleur, deux groupes Réponse ordinale ; groupes indépendants Wilcoxon-Mann-Whitney Indépendance
9. Statut fumeur avant-après Réponse binaire ; mesures appariées McNemar Paires indépendantes ; assez de paires discordantes

Exercice 3 - Quel est votre animal préféré ?

Dans une étude comparant deux prises en charge vétérinaire, la différence observée de durée moyenne d’hospitalisation est de \(-1,2\) jour en faveur de la nouvelle prise en charge. Le test bilatéral fournit une p-valeur égale à 0,032.

  1. Quelle décision prenez-vous au seuil de 5 % ? Au seuil de 1 % ?
  2. La p-valeur 0,032 signifie-t-elle que \(H_0\) a 3,2 % de chances d’être vraie ? Expliquez.
  3. Peut-on déduire de la seule p-valeur que la diminution de 1,2 jour est importante pour les patients ou pour l’hôpital ? Quelles informations complémentaires seraient utiles ?
  4. Dans ce contexte, quelle serait une erreur de première espèce ? De deuxième espèce ?
  5. Un analyste annonce “le résultat est significatif”. Proposez une meilleure formulation.

1. Décisions aux deux seuils

La p-valeur vaut 0,032.

  • Au seuil de 5 %, \(0,032<0,05\) : on rejette \(H_0\).
  • Au seuil de 1 %, \(0,032>0,01\) : on ne rejette pas \(H_0\).

2. Signification de la p-valeur

La phrase “\(H_0\) a 3,2 % de chances d’être vraie” est incorrecte. La p-valeur est calculée en supposant \(H_0\) vraie. Elle représente, sous les hypothèses du modèle, la probabilité d’obtenir une statistique de test au moins aussi extrême que celle observée. Dans ce test bilatéral, les deux directions d’écart à \(H_0\) contribuent à la p-valeur.

3. Signification clinique

Non, ce n’est pas son rôle. Pour savoir si 1,2 jour représente un bénéfice important, il faudrait notamment connaître surtout se placer dans le contexte clinique de l’étude : si une personne est généralement hospitalisée 2 jours, une réduction de 1,2 jour est très importante ; si elle est hospitalisée 20 jours, la même réduction est beaucoup moins pertinente.

4. Erreurs possibles

  • Erreur de première espèce : conclure que les prises en charge ont des durées moyennes différentes alors qu’elles sont réellement identiques dans la population.
  • Erreur de deuxième espèce : ne pas détecter une différence réelle de durée moyenne entre les prises en charge.

Pour rappel, notre seuil \(\alpha=5\,\%\) contrôle le risque de première espèce sous \(H_0\) : au plus 5 % des échantillons aléatoires conduiraient à rejeter \(H_0\) alors qu’il est vrai.

5. Formulation informative

On pourrait dire que la durée moyenne d’hospitalisation est réduite de 1,2 jour avec la nouvelle prise en charge par rapport à la référence de manière significative (\(p=0,032\)).

Exercice 4 - Moi ? Hyène

Partie A - Sommeil des étudiants et valeur de référence

Erwan Louveteau s’intéresse à la santé de 25 étudiants. Après avoir récolté les données, il constate que la durée moyenne de sommeil observée est de 7,4 h par nuit et l’écart-type empirique est de 1,5 h. Vous devez alors l’aider à déterminer si la durée moyenne de sommeil dans la population dont ils sont issus diffère de la valeur de référence \(\mu_0=6,8\) h. On suppose que la distribution ne présente ni forte asymétrie ni valeur extrême. La valeur critique bilatérale est \(t_{0,975\, ; \,24}=2,064\).

  1. Identifiez le test approprié et formulez \(H_0\) et \(H_1\).
  2. Vérifiez les conditions qui peuvent l’être à partir de l’énoncé et indiquez celles qui devraient être contrôlées dans le protocole ou avec les données brutes.
  3. Calculez la statistique de test observée.
  4. Comparez sa valeur absolue à la valeur critique et prenez une décision.
  5. Rédigez une conclusion qui mentionne aussi la différence moyenne observée.
  6. Si \(H_0\) n’est pas rejetée, expliquez pourquoi on ne doit pas écrire que l’étude a “prouvé que la moyenne vaut 6,8 h”.

1. Test et hypothèses

On compare la moyenne d’une variable quantitative dans un seul échantillon à une valeur de référence, avec un écart-type de population inconnu. Le test approprié est un test \(t\) de Student à un échantillon.

Notons \(\mu\) la durée moyenne de sommeil dans la population dont proviennent les étudiants : \[ H_0:\mu=6,8\text{ h} \text{ vs. } H_1:\mu\neq6,8\text{ h} \] Le test est donc bilatéral.

2. Conditions

  • L’énoncé ne signale ni forte asymétrie ni valeur extrême, ce qui rend l’usage de Student raisonnable.
  • On suppose alors que notre distribution est approximativement normale.

3. Statistique observée

L’erreur standard de la moyenne est : \[ SE(\bar X)=\frac{s}{\sqrt n} =\frac{1,5}{\sqrt{25}} =0,30\text{ h} \]

La statistique de test vaut alors : \[ t_{\mathrm{obs}} =\frac{\bar x-\mu_0}{s/\sqrt n} =\frac{7,4-6,8}{0,30} =2,00 \]

4. Décision

La règle bilatérale est de rejeter \(H_0\) si \(|t_{\mathrm{obs}}|>2,064\). Or : \[ |2,00|<2,064. \] On ne rejette donc pas \(H_0\) au seuil de 5 %, soit \(p>0,05\). De façon équivalente, l’intervalle : \[ 7,4\pm2,064\times0,30 =[6,78\, ; \,8,02]\text{ h } \] contient 6,8 h.

5. Conclusion

La durée moyenne observée est supérieure de \(7,4-6,8=0,6\) heure, soit 36 minutes, à la référence. Néanmoins, avec 25 étudiants, cette différence n’est pas statistiquement significative au seuil de 5 %. Les données ne fournissent donc pas un argument suffisant pour conclure que la moyenne de la population diffère de 6,8 h.

6. Absence de rejet et preuve d’égalité

Ne pas rejeter \(H_0\) signifie seulement que les données ne sont pas assez incompatibles avec 6,8 h selon le seuil choisi. Cela peut venir

  • d’une différence réelle faible
  • d’un échantillon trop petit
  • ou encore d’une forte variabilité.

Partie B - Deux programmes de réadaptation

Deux groupes indépendants suivent des programmes de réadaptation différents. La variable étudiée est la diminution de la pression artérielle systolique après six semaines : une valeur positive correspond à une baisse de pression.

Programme Effectif Diminution moyenne Écart-type
A 20 8 mmHg 4 mmHg
B 30 5 mmHg 10 mmHg

Les distributions sont approximativement symétriques et ne présentent pas de valeur extrême majeure. Pour le test demandé, on utilisera environ 41 degrés de liberté et la valeur critique bilatérale \(t_{0,975\, ; \,41}=2,02\).

  1. Formulez \(H_0\) et \(H_1\) pour comparer les diminutions moyennes.
  2. Expliquez pourquoi le test de Welch est préférable au test de Student.
  3. Calculez la statistique de test.
  4. Prenez une décision à l’aide de la valeur critique.
  5. Rédigez la conclusion statistique et distinguez-la de la différence descriptive observée entre les deux groupes.

1. Hypothèses

Notons \(\mu_A\) et \(\mu_B\) les diminutions moyennes de pression artérielle sous les programmes A et B : \[ H_0:\mu_A-\mu_B=0 \text{ vs. } H_1:\mu_A-\mu_B\neq0. \]

2. Choix du test de Welch

Les écarts-types observés sont très différents : 4 mmHg dans A contre 10 mmHg dans B. Le test de Student avec variance commune imposerait une hypothèse peu crédible. Le test de Welch compare les moyennes sans supposer l’égalité des variances et tient compte des tailles de groupe différentes.

On pourrait faire le test F d’égalité des variances ; mais on fait l’impasse ici.

3. Erreur standard et statistique

La différence observée est : \[ \bar x_A-\bar x_B=8-5=3\text{ mmHg} \]

Son erreur standard sous Welch vaut : \[ SE =\sqrt{\frac{s_A^2}{n_A}+\frac{s_B^2}{n_B}} =\sqrt{\frac{4^2}{20}+\frac{10^2}{30}} =\sqrt{0,80+3,33} =2,03\text{ mmHg} \]

Ainsi, la statistique est : \[ t_{\mathrm{obs}}=\frac{3}{2,03}=1,48 \]

4. Décision

Avec environ 41 degrés de liberté : \[ |1,48|<2,02. \] On ne rejette pas l’égalité des moyennes au seuil de 5 %, soit \(p>0,05\). L’intervalle correspondant est approximativement : \[ 3\pm2,02\times2,03=[-1,11\, ; \,7,11]\text{ mmHg}, \] et contient zéro.

5. Conclusion

Bien qu’il y ait une diminution moyenne plus forte de 3 mmHg dans le programme A, compte tenu de la variabilité et des effectifs, cette différence n’est pas statistiquement significative au seuil de 5 %.

Exercice 5 - Une ANOVA pour les gouverner tous

On compare l’amélioration moyenne d’un score de capacité physique entre quatre programmes. Les 48 patients ont été répartis dans quatre groupes indépendants. Les distributions au sein des groupes sont approximativement symétriques, sans valeur extrême majeure, et les variances sont jugées comparables.

Auprès de nos 48 patients répartis en quatre groupes, on a observé les sommes des carrés suivantes : \(SCE=90\) et \(SCR=180\).

  1. Formulez l’hypothèse nulle et l’hypothèse alternative du test d’ANOVA.
  2. Construire et compléter le tableau ANOVA. Dans notre contexte, à quoi fait référence la ligne “Expliquée” ?
  3. La valeur critique au seuil de 5 % est \(F_{0,95\, ; \,3\, ; \,44}=2,82\) : quelle décision prenez-vous ?
  4. Rédigez la conclusion dans le contexte.
  5. Si \(H_0\) est rejetée, peut-on affirmer que les quatre moyennes sont toutes différentes ? Quelle analyse supplémentaire faudrait-il envisager pour localiser les différences ?

1. Hypothèses

Notons \(\mu_1,\mu_2,\mu_3,\mu_4\) les améliorations moyennes dans les quatre programmes : \[ H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3=\mu_4 \text{ vs. } H_1:\text{au moins une moyenne diffère d'une autre} \] L’alternative ne dit pas que toutes les moyennes sont différentes.

2. Tableau d’ANOVA

Il y a \(g=4\) groupes et \(n=48\) personnes : \[ ddl_{\text{programmes}}=g-1=3, \; ddl_{\text{résiduel}}=n-g=44 \text{ et } ddl_{\text{total}}=n-1=47 \]

La somme des carrés totale vaut : \[ SCT=SCE+SCR=90+180=270 \]

Les carrés moyens sont : \[ CME=\frac{90}{3}=30 \text{ et } CMR=\frac{180}{44}=4,09 \]

On peut alors remplir le tableau d’ANOVA suivant :

Tableau 2: Décomposition de la variabilité de l’amélioration du score de capacité physique chez 48 patients répartis entre quatre programmes.
Source SC ddl CM Statistique
Expliquée 90 3 30,00 \(F=7,33\)
Résiduelle 180 44 4,09 –
Totale 270 47 5,74 –

La ligne “expliquée” correspond à la variabilité expliquée par le programme suivi.

3. Statistique et décision

Par définition, \[ F=\frac{CME}{CMR} =\frac{30}{4,09} =7,33 \]

Comme \(7,33>2,82\), on rejette \(H_0\) au seuil de 5 %.

4. Conclusion

Chez ces patients et sous les conditions d’application de l’ANOVA, les données indiquent que l’amélioration moyenne du score de capacité physique n’est pas identique dans les quatre programmes. Le programme suivi est associé à l’amélioration moyenne.

5. Localisation des différences

Le rejet global signifie seulement qu’au moins une différence existe. Il ne permet pas d’affirmer que les six comparaisons par paires sont toutes significatives.

Exercice 6 - Chi veut du rab ?

Partie A - Participation à un dépistage

Une étude observationnelle compare la participation à un dépistage selon qu’une relance par SMS a ou non été proposée par le centre de soins.

Relance Participe Ne participe pas Total
SMS 48 120
Aucune 54
Total 114 240
  1. Compléter le tableau précédent avec les effectifs manquants.
  2. Identifiez les deux variables et formulez les hypothèses du test d’indépendance.
  3. Calculez les proportions de participation dans les deux groupes.
  4. Calculez les quatre effectifs attendus sous \(H_0\). Peut-on appliquer le test du \(\chi^2\) ?
  5. Calculez la statistique de test.
  6. La valeur critique à 1 degré de liberté est 3,84. Interprétez le résultat.

1. Tableau à compléter

Dans le groupe SMS, le nombre de participants est \(120-48=72\). Le total des non-participants étant 114, le groupe sans SMS en compte \(114-48=66\). Son total vaut donc \(54+66=120\). Enfin, le total des participants est \(72+54=126\).

Tableau 3: Participation au dépistage selon la relance proposée à 240 personnes dans une étude observationnelle menée par un centre de soins.
Relance Participe Ne participe pas Total
SMS 72 48 120
Aucune 54 66 120
Total 126 114 240

2. Variables et hypothèses

Les deux variables qualitatives binaires sont le type de relance (SMS ou aucune) et la participation (oui ou non). On teste alors :

\[ H_0:\text{la relance et la participation sont indépendantes}, \] contre \[ H_1:\text{elles sont associées} \] On peut aussi formuler l’hypothèse sur les proportions. Ainsi, \(H_0\) s’écrit \(p_{\mathrm{SMS}}=p_{\mathrm{aucune}}\) et \(H_1\) s’écrit \(p_{\mathrm{SMS}}\neq p_{\mathrm{aucune}}\).

3. Proportions observées On a : \[ \widehat p_{\mathrm{SMS}}=\frac{72}{120}=0,60=60\,\%, \] et \[ \widehat p_{\mathrm{aucune}}=\frac{54}{120}=0,45=45\,\% \]

4. Effectifs attendus

Sous \(H_0\), un effectif attendu se calcule par : \[ E_{ij}=\frac{\text{total ligne}_i\times\text{total colonne}_j}{n} \]

Ainsi, pour la cellule SMS-participation : \[ E=\frac{120\times126}{240}=63 \] En faisant cela pour les autres cellules, on obtient le tableau de contingence théorique suivant :

Tableau 4: Effectifs attendus sous l’hypothèse d’indépendance entre relance et participation chez 240 personnes étudiées par un centre de soins.
Relance Participe Ne participe pas
SMS 63 57
Aucune 63 57

Les quatre effectifs attendus sont bien supérieurs à 5. Avec l’indépendance des personnes, l’approximation du \(\chi^2\) est appropriée.

5. Calcul du \(\chi^2\)

On a : \[ \chi^2 =\sum\frac{(O-E)^2}{E} =\frac{(72-63)^2}{63} +\frac{(48-57)^2}{57} +\frac{(54-63)^2}{63} +\frac{(66-57)^2}{57} =5,41 \]

De plus, le tableau est de taille \(2\times2\), donc : \[ ddl=(2-1)(2-1)=1 \]

6. Décision et interprétation

Comme \(5,41>3,84\), on rejette l’hypothèse d’indépendance au seuil de 5 %, donc \(p<0,05\). La participation au dépistage est statistiquement associée à la relance.

Partie B - Événement indésirable rare

Dans une étude, on évalue un nouveau traitement contre une maladie auprès de 60 patients. Parmi les 30 ayant reçu le nouveau traitement, 27 étaient guéris. Cependant, toutes les personnes prenant le traitement de référence étaient guéries.

  1. Calculez les effectifs attendus.
  2. Dans ce contexte, quel test choisiriez-vous pour étudier l’association entre le traitement et l’événement indésirable ? Justifiez.

La situation se résume dans ce tableau :

Groupe Pas guéri Guéri Total
Nouveau traitement 3 27 30
Référence 0 30 30

1. Effectifs attendus

Le total d’événements est 3, le total de non-événements 57 et chaque groupe contient 30 personnes. Pour chaque groupe : \[ E(\text{événement}) =\frac{30\times3}{60} =1,5, \] et \[ E(\text{non-événement}) =\frac{30\times57}{60} =28,5 \]

Tableau 5: Effectifs attendus de l’événement indésirable chez 60 participants répartis entre un nouveau traitement et le traitement de référence.
Groupe Événement oui Événement non
Nouveau traitement 1,5 28,5
Référence 1,5 28,5

2. Choix du test

Comme on a des effectifs théoriques inférieurs à 5, l’approximation du \(\chi^2\) n’est pas fiable et le test du chi² est inapproprié. Comme on est avec un tableau \(2\times2\), nous choisissons le test exact de Fisher, qui a l’avantage… d’être exact !

On pourrait utiliser une correction de Yates, mais cette correction est souvent très conservatrice ; donc autant utiliser le test exact de Fisher, qui est plus précis.

Exercice 7 - Encore plus de tests

Partie A - Une mesure quantitative

Chez 12 patients, on mesure l’HbA1c avant puis trois mois après une intervention. Pour chaque patient, on calcule \(D=\text{HbA1c après}-\text{HbA1c avant}\). La moyenne des différences vaut \(-0,6\) point de pourcentage et leur écart-type 0,8 point. Les différences sont approximativement normales. Utilisez \(t_{0,975\, ; \,11}=2,201\).

  1. Expliquez pourquoi les deux séries de mesures ne sont pas indépendantes.
  2. Formulez les hypothèses du test de Student apparié.
  3. Calculez la statistique de test à partir des différences.
  4. Prenez une décision et interprétez le signe de la différence moyenne.

1. Pourquoi les mesures sont-elles appariées ?

Chaque valeur “après” est liée à une valeur “avant” provenant du même patient. Deux mesures d’une même personne partagent des caractéristiques biologiques et ne sont généralement pas indépendantes. L’unité d’analyse devient la différence intra-sujet : \[ D_i=\text{HbA1c après}_i-\text{HbA1c avant}_i \]

2. Hypothèses

Notons \(\mu_D\) la moyenne des différences dans la population : \[ H_0:\mu_D=0 \text{ vs. } H_1:\mu_D\neq0 \]

3. Statistique de test

L’erreur standard de la moyenne des différences est : \[ SE(\bar D)=\frac{0,8}{\sqrt{12}}=0,231 \]

La statistique vaut : \[ t_{\mathrm{obs}} =\frac{-0,6-0}{0,8/\sqrt{12}} =-2,60 \]

4. Décision et interprétation

\[ |-2,60|>2,201. \] On rejette \(H_0\) au seuil de 5 %, donc \(p<0,05\). L’HbA1c a diminué en moyenne après l’intervention, de 0,6 point de pourcentage.

À titre de vérification, l’intervalle : \[ -0,6\pm2,201\times0,231 =[-1,11\, ; \,-0,09] \] n’inclut pas zéro.

Partie B - Une mesure binaire

Chez 100 autres patients, on relève le statut tabagique avant et après une intervention. Parmi les 50 fumeurs, 15 ont arrêté de fumer ; et parmi les 50 non-fumeurs, 5 ont commencé à fumer.

  1. Identifiez les paires concordantes et discordantes.
  2. Quel test statistique permet d’évaluer l’efficacité de l’intervention ? Peut-on l’utiliser ?
  3. Formulez \(H_0\) et \(H_1\), puis calculez la statistique de McNemar sans correction.
  4. À l’aide de la valeur critique 3,84, conclure sur l’intervention.

Commençons par un tableau de contingence :

Après : Fumeur Après : Non-fumeur Total
Avant : Fumeur 35 15 50
Avant : Non-fumeur 5 45 50
Total 40 60 100

1. Paires concordantes et discordantes

Les paires concordantes ne changent pas de statut :

  • 35 patients sont fumeurs avant et après ;
  • 45 sont non-fumeurs avant et après.

Les paires discordantes changent :

  • \(b=15\) passent de fumeur à non-fumeur ;
  • \(c=5\) passent de non-fumeur à fumeur.

Le test de McNemar utilise uniquement ces 20 paires discordantes.

2. Approximation

On a : \[ b+c=15+5=20 > 10 \] ce qui est suffisant pour utiliser l’approximation par une loi du \(\chi^2\).

3. Hypothèses et statistique sans correction

Sous l’hypothèse nulle, les deux sens de changement sont aussi probables : \[ H_0:\mathbb{P}(\text{fumeur}\to\text{non-fumeur}) =\mathbb{P}(\text{non-fumeur}\to\text{fumeur}), \] contre \[ H_1:\text{ces probabilités diffèrent} \]

La statistique de test est : \[ \chi^2_{\mathrm{McNemar}} =\frac{(b-c)^2}{b+c} =\frac{(15-5)^2}{20} =5,00 \]

4. Conclusion

Comme \(5,00>3,84\), on rejette \(H_0\) au seuil de 5 %, donc \(p<0,05\). Les changements ne sont pas symétriques : 15 personnes ont cessé de fumer contre 5 qui sont devenues fumeuses. La proportion observée de fumeurs passe ainsi de 50 % avant à 40 % après, ce qui indique une évolution dans le sens d’une diminution.

Partie C - Scores de douleur et rangs

On compare un score ordinal de douleur, allant de 0 (“aucune douleur”) à 5 (“douleur très intense”), entre deux groupes indépendants de patients. Les distributions sont très asymétriques et comportent de nombreux ex æquo. Un logiciel fournit pour un test de Wilcoxon-Mann-Whitney \(W=318\) et \(p=0,021\).

  1. Ce test est-il adapté pour comparer deux moyennes ?
  2. Formulez l’hypothèse nulle et l’hypothèse alternative.
  3. Prenez une décision au seuil de 5 % et rédigez une conclusion prudente.
  4. Erwan Louveteau pense que “le test prouve que les médianes sont différentes.” Identifiez les deux problèmes de cette phrase.
  5. Si les scores provenaient des mêmes patients avant et après traitement, le test de Wilcoxon-Mann-Whitney serait-il toujours adapté ?

1. Objet du test

Le test de Wilcoxon-Mann-Whitney ne compare pas deux moyennes. Il compare les rangs, donc plus généralement les distributions des scores dans deux groupes indépendants. Il est approprié à une variable ordinale très asymétrique, ou alors quand les conditions d’application de certains tests paramétriques ne sont pas remplies.

2. Hypothèses

On peut écrire : \[ H_0:\text{les distributions du score sont identiques dans les deux groupes}, \] contre \[ H_1:\text{elles diffèrent} \]

3. Décision

Comme \(p=0,021<0,05\), on rejette \(H_0\). Les données apportent un argument en faveur d’une différence de distribution des scores de douleur entre les deux groupes.

Si on avait accès à la distribution - avec un histogramme par exemple - on aurait pu préciser un peu mieux le sens de la différence.

4. Deux problèmes dans la phrase proposée

Premièrement, un test ne “prouve” pas une hypothèse : il fournit un degré d’incompatibilité avec \(H_0\), sous des conditions et avec un risque d’erreur.

Deuxièmement, le test ne porte pas sur les médianes, mais sur les distributions ! Deux distributions peuvent avoir la même médiane mais des formes différentes et produire un résultat significatif.

5. Cas de mesures appariées

Si les scores venaient des mêmes patients avant et après, l’indépendance entre groupes ne serait plus vérifiée. Il faudrait utiliser une méthode appariée, par exemple le test des rangs signés de Wilcoxon.

Partie D - Répartition des niveaux de triage

Dans l’ensemble des passages aux urgences d’une région, les niveaux de triage “faible”, “modéré”, “élevé” et “vital” représentent respectivement 50 %, 30 %, 15 % et 5 % des passages. Un hôpital observe, parmi 200 passages sélectionnés indépendamment, les effectifs suivants :

Niveau Faible Modéré Élevé Vital
Effectif observé 86 70 34 10
  1. Quel test statistique est approprié dans cette situation et pourquoi ?
  2. Formulez \(H_0\) et \(H_1\).
  3. Calculez les quatre effectifs attendus et vérifiez la condition d’application.
  4. Calculez la statistique de test en précisant son nombre de degrés de liberté.
  5. La valeur critique est \(\chi^2_{0,95\, ; \,3}=7,815\). Quelle conclusion peut-on tirer ?

1. Test approprié

On compare les effectifs d’une seule variable qualitative à quatre modalités à des proportions de référence fixées. Le test approprié est un test du \(\chi^2\) d’adéquation.

2. Hypothèses

On pose \[ H_0:(p_F,p_M,p_E,p_V)=(0,50\, ; \,0,30\, ; \,0,15\, ; \,0,05), \] contre \[ H_1:\text{au moins une proportion diffère de sa référence régionale} \]

3. Effectifs attendus

On multiplie chaque proportion de référence par \(n=200\) : \[ E_F=200\times0,50=100, E_M=200\times0,30=60, E_E=200\times0,15=30, \text{ et } E_V=200\times0,05=10 \]

Tous les effectifs attendus sont au moins égaux à 5, donc l’approximation du \(\chi^2\) convient.

4. Statistique et degrés de liberté

On a : \[ \chi^2 =\frac{(86-100)^2}{100} +\frac{(70-60)^2}{60} +\frac{(34-30)^2}{30} +\frac{(10-10)^2}{10} =1,96+1,67+0,53+0 =4,16 \]

Quatre catégories sont comparées, donc le nombre de degrés de liberté est : \[ ddl=4-1=3 \]

5. Décision et conclusion

Comme \(4,16<7,815\), on ne rejette pas \(H_0\) au seuil de 5 %, donc \(p>0,05\). Les écarts observés entre cet hôpital et la répartition régionale ne sont donc pas suffisamment importants pour rejeter la distribution de référence.