5 Interaction et modification d’effet
Quand on ajuste sur une variable sans introduire d’interaction, on suppose que l’association avec notre exposition principale est la même pour tous les niveaux de la variable ajustée. Mais, et si ce n’était pas le cas ?
Prenons un exemple, avec une variable quantitative \(X_1\) et une variable binaire \(X_2\), le modèle avec interaction est : \[ \mathbb E(Y\mid X_1=x_1,X_2=x_2) =\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\beta_3x_1x_2 \]
- Si \(X_2=0\) : \(\mathbb E(Y\mid X_1=x_1,X_2=0)=\beta_0+\beta_1x_1\)
- Si \(X_2=1\) : \(\mathbb E(Y\mid X_1=x_1,X_2=1)=(\beta_0+\beta_2)+(\beta_1+\beta_3)x_1\)
Ainsi :
- la pente de \(X_1\) vaut \(\beta_1\) quand \(X_2=0\) ;
- la pente de \(X_1\) vaut \(\beta_1+\beta_3\) quand \(X_2=1\) ;
- la différence vaut \(\beta_3\), qui quantifie la modification d’effet de \(X_2\) sur l’association entre \(X_1\) et \(Y\).
Bien sûr, cela vaut aussi pour plus de deux modalités de \(X_2\) : on aura alors plusieurs coefficients d’interaction, un pour chaque modalité autre que la référence.
En l’appliquant à l’exemple précédent, voici ce qu’on obtient :
5.1 Tester une interaction
Si l’interaction correspond à un seul coefficient, on teste simplement ce coefficient avec un test t. Si l’interaction correspond à plusieurs coefficients (p. ex., ORIGINE à plusieurs modalités), alors on utilise un test F partiel. Quoi qu’il en soit, si le test est significatif, les données indiquent que l’association entre l’exposition et la réponse est modifiée par la variable d’interaction.
5.2 Intervalle de confiance d’une interaction
Si l’interaction correspond qu’à un seul coefficient, on fait comme avant. Cependant, si elle doit être codée par plusieurs coefficients, obtenir un intervalle de confiance est un peu plus complexe.
Pour calculer un tel intervalle, on a recours à la matrice variance-covariance des coefficients estimés. Dans une telle matrice, on retrouve :
- sur la diagonale : les variances estimées des coefficients ;
- hors diagonale : les covariances estimées entre coefficients.
En plus de cette table, il faut connaître la relation suivante : \[ \mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y) + 2\mathrm{Cov}(X,Y) \]
5.3 Présenter une interaction
Si on a une modification d’effet, il faut alors présenter l’effet de l’association entre l’exposition et la réponse pour chaque niveau de la variable d’interaction.
NoteExemple
On étudie maintenant si l’association entre l’âge maternel et le poids de naissance dépend du tabagisme. Le modèle avec interaction s’écrit :
\[ \mathbb E(\mathrm{BWT}\mid \mathrm{AGE}=a,\mathrm{SMOKE}=s) =\beta_0+\beta_1a+\beta_2s+\beta_3(a\times s) \]
Le test de l’interaction AGE:SMOKE donne \(p=0{,}025\). Au seuil de 5 %, les données suggèrent donc que la pente de l’âge diffère selon le statut tabagique. On peut présenter les pentes estimées dans chaque groupe, avec leur intervalle de confiance à 95 %.
Dans ce modèle :
- la pente de l’âge chez les non-fumeuses est de 27,60 g/an (IC 95 % [3,6 ; 51,6]) ;
- la pente de l’âge chez les fumeuses est de -18,76 g/an (IC 95 % [-51,2 ; 13,7]) ;
- la différence entre les pentes est estimée à -46,36 g/an (IC 95 % [-86,7 ; -6,0]).
C’est quand même plus lisible que la seule phrase “l’effet est modifié”…
L’interaction est une simple multiplication entre deux termes. Ainsi, elle est symétrique, ce qui nous permet d’exprimer la modification d’effet différemment. Ceci peut être, dans certains cas, plus parlant (tout dépend de votre question de recherche) !
Avertissement
En présence d’interaction, le coefficient SMOKE correspond à l’association avec le tabagisme lorsque AGE = 0, ce qui n’a pas de sens clinique dans notre exemple. À la place, on peut présenter des associations conditionnelles, par exemple à 19, 23 et 26 ans (ou centrer l’âge…).
NoteExemple
Dans l’exemple précédent, on peut dire que l’effet du tabagisme dépend de l’âge. Pour un âge \(a\), la différence moyenne fumeuse moins non-fumeuse vaut : \[ \Delta(a)= \mathbb{E}(\mathrm{BWT}\mid \mathrm{AGE}=a,\mathrm{SMOKE}=1) - \mathbb{E}(\mathrm{BWT}\mid \mathrm{AGE}=a,\mathrm{SMOKE}=0) = \beta_2+a\beta_3 \] Ainsi, la différence moyenne attendue entre une mère fumeuse de 20 ans et une mère non-fumeuse de 20 ans est estimée à \(\widehat\Delta(20)=\widehat\beta_2+20\widehat\beta_3\).
Pour construire un intervalle de confiance pour \(\Delta(a)\), on utilise la matrice variance-covariance et on applique la formule de la variance d’une somme. On obtient alors : \[ \widehat{\mathrm{Var}}(\widehat\Delta(a)) =\widehat{\mathrm{Var}}(\widehat\beta_2) +a^2\widehat{\mathrm{Var}}(\widehat\beta_3) +2a\widehat{\mathrm{Cov}}(\widehat\beta_2,\widehat\beta_3) \]
Avec tout ça, on peut représenter l’effet dans une table, mais aussi via un graphique !
| Âge maternel (années) | Différence moyenne fumeuse - non-fumeuse (g) | IC 95 % |
|---|---|---|
| 19 | -85,5 | [-352,3 ; 181,2] |
| 23 | -271,0 | [-479,8 ; -62,1] |
| 26 | -410,1 | [-649,1 ; -171,0] |
