5 Présenter et visualiser un ajustement et une interaction
Ce qui a été présenté pour le modèle de régression linéaire s’applique également ici : on peut ajuster sur des variables de confusion et tester des interactions.
5.1 Ajustement
Supposons que l’on souhaite étudier l’association entre le faible poids de naissance et l’âge maternel, en ajustant sur le tabagisme maternel.
Nous présentons alors en Figure 1 les probabilités prédites par deux modèles logistiques : un modèle brut avec l’âge seul, et un modèle ajusté sur le tabagisme. Dans le modèle ajusté, la probabilité prédite pour un âge donné diffère selon le statut tabagique.
Dans le modèle ajusté, le coefficient de l’âge - donc l’OR associé à une année supplémentaire - est identique quel que soit le statut tabagique. En revanche, la probabilité prédite pour un âge donné diffère selon ce statut.
NoteExemple
Si l’on suppose que l’association avec l’âge varie elle-même selon le statut tabagique, on peut introduire une interaction entre l’âge et le tabagisme.
5.2 Interaction
Pour rappel, une interaction signifie que l’association entre une exposition et la réponse dépend du niveau d’une autre variable. Par exemple, si on étudie une exposition \(E\) et qu’on suppose qu’une variable \(Z\) puisse modifier cet effet, on écrit le modèle comme suit : \[ \operatorname{logit}(p)=\beta_0+\beta_1E+\beta_2Z+\beta_3(E\times Z) \]
Pour simplifier l’écriture, supposons que \(Z\) est une variable catégorielle binaire. Alors, si \(Z=0\) (groupe de référence), l’effet de \(E\) est : \[ OR_E(Z=0)=\exp(\beta_1) \]
Si \(Z=1\), l’effet de \(E\) est : \[ OR_E(Z=1)=\exp(\beta_1+\beta_3) \]
Le même raisonnement peut être adapté à une variable catégorielle avec plus de deux modalités ou à une variable quantitative.
Le coefficient \(\beta_3\) quantifie donc la différence d’effet sur l’échelle des log-odds.
Si on a une modification d’effet, il faut éviter de ne présenter que le coefficient d’interaction. À la place, il est préférable de présenter l’effet de l’exposition à plusieurs valeurs pertinentes de la variable modificatrice d’effet. On propose de montrer comment il aurait fallu présenter les résultats si l’interaction précédente avait été significative.
NoteExemple
Dans le modèle précédent, l’OR du tabagisme à un âge \(a\) (centré à 25 ans) vaut : \[ OR_{\operatorname{SMOKE}}(a)=\exp(\beta_1+(a-25)\beta_3) \] Pour construire son IC 95 %, on utilise la variance d’une combinaison linéaire : \[ \operatorname{Var}(\widehat\beta_1+c\widehat\beta_3)= \operatorname{Var}(\widehat\beta_1)+c^2\operatorname{Var}(\widehat\beta_3) +2c\operatorname{Cov}(\widehat\beta_1,\widehat\beta_3), \] où \(c=a-25\) (c’est la même chose qu’en régression linéaire). Pour présenter les résultats dans un tableau, on prend plusieurs âges pertinents et on y calcule l’OR du tabagisme. Pour les âges 20, 25, 30 et 35 ans, on obtient les résultats suivants :
| Âge maternel | OR tabagisme | IC 95 % |
|---|---|---|
| 20 | 2,57 | [1,09 ; 6,05] |
| 25 | 3,18 | [1,39 ; 7,26] |
| 30 | 3,93 | [1,11 ; 13,95] |
| 35 | 4,87 | [0,75 ; 31,53] |
Un autre moyen serait de présenter les probabilités prédites en fonction de l’âge maternel pour les mères fumeuses et non fumeuses dans un graphique. Ci-dessous, on présente à gauche le modèle sans interaction, et à droite le modèle avec interaction.
