3 Estimation de Kaplan-Meier de la fonction de survie
En survie, on est souvent intéressé par l’estimation et la représentation de la fonction de survie comme étape préliminaire. La plus connue est l’estimateur de Kaplan-Meier, un estimateur non paramétrique de la fonction de survie \(S\).
Edward Kaplan et Paul Meier ont publié cet estimateur en 1958 pour analyser des durées dont certaines ne sont pas observées jusqu’à l’évènement (Kaplan et Meier 1958).
Soient \(i = 1,\dots,n\) les sujets de l’échantillon, \(t_1<\dots <t_j <\dots <t_k\) les temps d’évènements hiérarchisés par ordre croissant d’apparition, \(j=1,\dots,k\), \(d_j\) le nombre de sujets subissant l’évènement en \(t_j\) et \(n_j\) le nombre de sujets à risque au temps \(t_j\).
À chaque temps d’évènement \(t_j\), la proportion \(d_j/n_j\) estime la probabilité conditionnelle d’évènement parmi les sujets encore à risque. La proportion complémentaire \(1-d_j/n_j = (n_j-d_j)/n_j\) estime donc la probabilité de franchir ce temps sans évènement. Ainsi, la probabilité de survie (i.e., de ne pas avoir subi l’évènement) jusqu’à un temps \(t_j\) est le produit des probabilités de survie à chaque temps d’évènement précédent : \[ \begin{aligned} S(t) & = \mathbb{P}(T>t_j) \\[0.5em] & = \mathbb{P}(T>t_j\mid T>t_{j-1}) \times \mathbb{P}(T>t_{j-1}) \\[0.5em] & = \mathbb{P}(T>t_j\mid T>t_{j-1}) \times \dots \times \mathbb{P}(T>t_2\mid T>t_1) \times \mathbb{P}(T>t_1) \\[0.5em] & = \left(1-\frac{d_j}{n_j}\right) \times \dots \times \left(1-\frac{d_2}{n_2}\right) \times \left(1-\frac{d_1}{n_1}\right) \end{aligned} \] Les censures réduisent les effectifs à risque pour les temps suivants, mais ne font pas directement baisser la survie estimée.
On peut ensuite estimer la médiane de survie.
En présence de censure, cela ne signifie pas que la moitié des sujets de l’échantillon ont effectivement présenté un évènement observé
Avertissement
Si \(\hat S(t)\) reste strictement supérieure à \(0,5\) sur tout le suivi observable, la médiane n’est pas estimable à partir de ces données.
NoteExemple
Calculons l’estimateur de Kaplan-Meier sur 15 observations sélectionnées de l’étude Toxo. On a 6 toxoplasmoses (statut 1) et 9 censures (statut 0). L’origine est la randomisation propre à chaque sujet et tous entrent donc au temps \(0\), (on n’a pas de troncature à gauche ici).
La première étape à réaliser, lorsque l’on souhaite calculer l’estimateur de Kaplan-Meier, est d’ordonner les temps d’évènement (ici apparition de toxoplasmose). Nous illustrons cela dans le Tableau 1.
Ensuite, on fait un second tableau. Dans celui-ci, la première colonne contient les temps d’évènement \(t_j\), la seconde colonne le nombre de toxoplasmoses \(d_j\) observés à chaque temps \(t_j\), et la troisième colonne les effectifs à risque \(n_j\) à chaque temps \(t_j\). Avec ces informations, on peut calculer la probabilité conditionnelle de rester sans évènement au temps \(t_j\) par la formule donnée précédemment. La dernière colonne contient la survie estimée jusqu’à chaque temps \(t_j\), par la méthode de Kaplan-Meier. Nous illustrons cela dans le Tableau 2.
| Sujet | Délai depuis la randomisation (en jours) | Statut |
|---|---|---|
| 32 | 111 | 1 |
| 40 | 129 | 1 |
| 89 | 222 | 0 |
| 118 | 256 | 1 |
| 156 | 298 | 0 |
| 206 | 340 | 0 |
| 235 | 365 | 1 |
| 252 | 375 | 0 |
| 261 | 388 | 0 |
| 294 | 418 | 1 |
| 314 | 440 | 1 |
| 515 | 783 | 0 |
| 532 | 854 | 0 |
| 542 | 931 | 0 |
| 550 | 970 | 0 |
| Délai de survie (en jours) | Nombre d’évènements | Effectif à risque | Probabilité conditionnelle de survie | Survie estimée jusqu’en \(t_j\) |
|---|---|---|---|---|
| \(t_j\) | \(d_j\) | \(n_j\) | \((n_j-d_j)/n_j\) | \(\hat{S}(t_j)\) |
| 0 | 0 | 15 | 1,00 | 1,00 |
| 111 | 1 | 15 | 0,933 | 0,933 |
| 129 | 1 | 14 | 0,929 | 0,867 |
| 256 | 1 | 12 | 0,917 | 0,794 |
| 365 | 1 | 9 | 0,889 | 0,706 |
| 418 | 1 | 6 | 0,833 | 0,588 |
| 440 | 1 | 5 | 0,800 | 0,471 |
Dans le Tableau 2, on observe la progression de la survie estimée au fil du temps. La première ligne du tableau contient \(0\) évènement observé et 15 sujets dans l’effectif à risque, étant donné qu’il n’y a pas d’évènements observés à l’inclusion. En chaque temps d’évènement \(t_j\), on inscrit le nombre de sujets pour lesquels celui-ci est observé et on calcule la probabilité conditionnelle. Comme défini précédemment, \(\hat S(t_j)\) est obtenue en multipliant la probabilité de ne pas observer l’évènement en \(t_j\) conditionnellement au fait que le sujet était encore à risque au temps \(t_{j-1}\) avec la probabilité de ne pas observer l’évènement en \(t_{j-1}\), soit : \[ \hat S(t_j)=\frac{n_j-d_j}{n_j} \times \hat S(t_{j-1}) \] Pour la seconde ligne, \(\hat{S}(111)=\frac{15-1}{15} \times 1,00 \approx 0{,}933\). La probabilité estimée de rester sans toxoplasmose dans ce sous-échantillon à 111 jours est de \(0,933\). On répète l’opération jusqu’au dernier temps d’évènement observé, à 440 jours de suivi, la probabilité estimée de rester sans toxoplasmose est de 0,471. Après le dernier évènement, elle reste horizontale jusqu’à la fin du suivi observable.
Comme \(\hat S(418) = 0,588\) et \(\hat S(440) = 0,471\), alors la médiane de survie estimée est de 440 jours. Enfin, on peut représenter graphiquement la fonction de survie estimée comme suit :
La courbe de Kaplan-Meier est en escaliers : elle descend aux temps d’évènement et ne descend pas aux temps de censure (marqués par un petit trait vertical). La probabilité de survie est bien égale à 1 à \(t=0\). D’ailleurs, on voit bien que \(S(t) = 0\) n’est jamais atteint pendant le suivi !
Note
On aurait pu choisir l’âge comme délai. On estime alors la survie de rester sans évènement jusqu’à un âge donné (plutôt qu’un nombre de jours après la randomisation). De plus, le changement de l’axe du temps a pour conséquence de changer l’effectif à risque au cours du suivi à cause de l’entrée retardée. Enfin, nous obtiendrons alors une courbe de survie différente. Nous détaillons cela en section 7.1
Les références
Kaplan, Edward L., et Paul Meier. 1958. « Nonparametric Estimation from Incomplete Observations ». Journal of the American Statistical Association 53 (282): 457‑81. https://doi.org/10.1080/01621459.1958.10501452.